Угловые дефекты многогранника в сумме дают 720°

У каждой вершины объёмной фигуры есть угол, точнее говоря, угловой дефект, который показывает, насколько вершина плоская или острая. Почему угловые дефекты любого выпуклого многогранника в сумме дают ровно 720°? Эта статья — текстовая версия нашего видео, с иллюстрациями, которые можно вращать и складывать самому.

Перетащите, чтобы повернуть.

Неправильный тетраэдр и угловой дефект в каждой из его вершин.

Если вершина плоская, угловой дефект равен 0°. У куба угловой дефект — 90°. А у очень острой вершины, как последняя на рисунке ниже, угловой дефект — 270°. Но у любого выпуклого многогранника сумма угловых дефектов — 720°.

Плоская

Куб

Острая вершина

Перетащите, чтобы повернуть.

Плоская вершина, вершина куба и очень острая вершина с их угловыми дефектами.

Что такое угловой дефект

Давайте уточним, что такое угловой дефект. Когда из многоугольников складывают паркет, внутренние углы в сумме должны давать 360°. Но если многоугольники должны стать частью многогранника, то нужно оставить зазор, чтобы вершина могла сложиться. Сумма этих внутренних углов должна быть меньше 360°. А то, насколько она меньше 360°, и есть угловой дефект.

Вверху: углы вокруг вершины паркета в сумме дают 360°. Внизу: уберите один многоугольник, и оставшийся зазор — это угловой дефект.

Убедитесь в этом сами, сложив несколько вершин ниже. Сколько бы ни было многоугольников, зазор закрывается ровно тогда, когда вершина складывается в угол.

Перетащите, чтобы повернуть.

Сложить вершину

Выберите вершину и сложите её. Оранжевый зазор — это угловой дефект.

Но почему сумма угловых дефектов многогранника равна 720°?

Разбиение граней на треугольники

Упростим задачу: пусть все грани — треугольники. Так можно считать, ведь любой многоугольник можно разбить на треугольники. И угловые дефекты от этого не изменятся, потому что сумма углов в каждой вершине останется прежней. Какие-то углы разделятся, но их сумма не изменится.

Шестиугольник и два квадрата при вершине, разбитые на треугольники двумя разными способами. Слева углы при вершине сохраняются, справа они разделяются. В любом случае в сумме они по-прежнему дают 300°.

Формула Эйлера: V - E + F = 2

Нам нужно знать одну вещь: у любой выпуклой фигуры число вершин, V, минус число рёбер, E, плюс число граней, F, равно 2. Если вы этого не знали, мы быстро это покажем, нарисовав фигуру на поверхности сферы, — так можно сделать с любой выпуклой фигурой. Нас интересует величина V - E + F.

Уберём ребро между двумя гранями, превратив две грани в одну и уменьшив число рёбер и число граней на единицу. V - E + F не меняется. Будем повторять это, пока не останется одна грань: грань, покрывающая всю сферу.

Раз сфера — единственная грань, оставшиеся рёбра просто соединяют вершины, разбросанные по сфере. Эти вершины можно убирать вместе с ребром, которое соединяет их с остальными. То есть мы убираем одну вершину и одно ребро. И снова V - E + F не меняется. Если продолжать так дальше, в конце останется одна вершина: одна вершина, одна грань и ни одного ребра. Значит, V - E + F = 2.

Тетраэдр, нарисованный на сфере. Каждый шаг убирает ребро между двумя гранями или вершину вместе с ребром, которое соединяет её с остальными, и V − E + F никогда не меняется.

А раз оно никогда не менялось, V - E + F всегда было равно 2. Это верно для любой фигуры, которую можно нарисовать на сфере, а так можно нарисовать любой выпуклый многогранник.

	V	E	F	V - E + F
Тетраэдр	4	6	4	2
Куб	8	12	6	2
Додекаэдр	20	30	12	2

Фигура из треугольников

Итак, представим выпуклую фигуру, целиком состоящую из треугольников. Мы уже знаем, что V - E + F = 2. Число треугольников, то есть граней, равно F. У каждого треугольника три ребра, но каждое ребро принадлежит двум треугольникам, а не одному, поэтому число рёбер равно числу граней, умноженному на 3 и делённому на 2:

\displaystyle E = \frac{3}{2}F

Подставив число рёбер в формулу V - E + F = 2, получим:

\displaystyle \begin{aligned} V - \frac{3}{2}F + F &= 2 \\ V - \frac{F}{2} &= 2 \\ V &= 2 + \frac{F}{2} \end{aligned}

Значит, число вершин равно 2 плюс половина числа граней. Помните, что это верно, только если фигура состоит из треугольников. И заметьте: отсюда следует, что число треугольников не может быть нечётным, иначе число рёбер и вершин не было бы целым.

	V	E	F
Тетраэдр	4	6	4
Треугольная бипирамида	5	9	6
Октаэдр	6	12	8
Пятиугольная бипирамида	7	15	10
Икосаэдр	12	30	20
Любая фигура из треугольников	2 + \frac{F}{2}	\frac{3}{2}F	F

Сумма угловых дефектов — 720°

Каков же полный угловой дефект нашей фигуры из треугольников? Если угловой дефект каждой вершины — это 360° минус внутренние углы при ней, то в сумме получится по 360° на каждую вершину минус внутренние углы во всех вершинах.

Сумма внутренних углов треугольника равна 180°, значит, сумма всех внутренних углов — это 180°, умноженные на число треугольников. Итак, полный угловой дефект — это по 360° на каждую вершину минус по 180° на каждый треугольник.

Сложить вершины

Неправильный тетраэдр (вверху) и четыре его вершины, развёрнутые на плоскость; передвиньте ползунок, чтобы снова сложить их в углы тетраэдра. Три отмеченных угла каждого цвета — это углы одного треугольника, поэтому в сумме они дают 180°. Вокруг четырёх вершин — 4 × 360°, за вычетом 4 × 180° на четыре треугольника.

У нас есть формула, выражающая число вершин через число треугольников, V = 2 + \frac{F}{2}, поэтому подставим её сюда и увидим, что всё сокращается, кроме 2, умноженных на 360°:

\displaystyle \begin{aligned} &\text{полный угловой дефект} \\ &\quad = 360^\circ \times V - 180^\circ \times F \\ &\quad = 360^\circ \times \left(2 + \frac{F}{2}\right) - 180^\circ \times F \\ &\quad = 2 \times 360^\circ + 180^\circ \times F - 180^\circ \times F \\ &\quad = 2 \times 360^\circ \\ &\quad = 720^\circ \end{aligned}

Так что полный угловой дефект равен 720°.

Любой многогранник и архимедовы тела

Мы уже показали, что из треугольников можно составить любую фигуру, так что доказательство верно и для фигур с любыми гранями. А если все вершины одинаковые, как у платоновых или архимедовых тел, то угловой дефект можно найти, просто разделив на число вершин. Или наоборот.

Например, если в вершине архимедова тела сходятся восьмиугольник, шестиугольник и квадрат, то внутренние углы этих фигур в сумме дают 345°, а значит, угловой дефект — 15°. Тогда число вершин равно 720, делённым на 15, то есть 48 вершин.

Перетащите, чтобы повернуть.

В каждой вершине шестиугольной призмы сходятся два квадрата и шестиугольник, что оставляет 60°, поэтому у неё 720 ÷ 60 = 12 вершин. В каждой вершине усечённого кубооктаэдра сходятся квадрат, шестиугольник и восьмиугольник, что оставляет 15°, поэтому вершин у него 48.

Попробуйте сами

Если хотите сами поэкспериментировать с такими фигурами, на itch.io теперь есть демоверсия 4D Builder. Она в основном для игры с четырёхмерными фигурами, но в песочнице можно строить и трёхмерные многогранники, так что вы сможете сами проверить идеи из этой статьи.

Добавить 4D Builder в желаемое

Напишите, что вы думаете об этом и что ещё вы хотели бы увидеть в будущем, в комментариях к видео.

← Все статьи