Les angles d’un polyèdre font 720°
Chaque sommet d’une forme en 3D a un angle, plus précisément appelé son défaut angulaire, qui indique en gros à quel point il est plat ou pointu. Pourquoi les défauts angulaires de tout polyèdre convexe font-ils exactement 720° au total ? Cet article est la version écrite de notre vidéo, avec des illustrations que vous pouvez faire tourner et plier vous-même.
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S’il est plat, le défaut angulaire vaut 0°. Dans un cube, le défaut angulaire vaut 90°. Dans un coin très pointu, comme le dernier ci-dessous, le défaut angulaire vaut 270°. Mais dans tout polyèdre convexe, la somme de ces défauts angulaires fait 720°.
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Ce qu’est le défaut angulaire
Précisons ce qu’on entend par défaut angulaire. Quand on assemble des polygones pour faire un pavage, la somme des angles intérieurs doit faire 360°. Mais pour que les polygones forment une partie d’un polyèdre, il faut laisser un espace, pour que le sommet puisse se replier. La somme de ces angles intérieurs doit être inférieure à 360°. Ce qui manque pour atteindre 360°, c’est le défaut angulaire.
Vous pouvez le constater vous-même en repliant quelques sommets ci-dessous. Quel que soit le nombre de polygones, l’espace se referme juste au moment où le sommet se replie en coin.
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Mais pourquoi les défauts angulaires d’un polyèdre font-ils 720° au total ?
Découper les faces en triangles
Simplifions la question en supposant que toutes les faces sont des triangles. On peut raisonnablement le supposer, car tout polygone peut être découpé en triangles. Et cela ne change pas le défaut angulaire, car la somme des angles reste la même à chaque sommet. Certains angles ont pu être coupés, mais sans changer le total.
Formule d’Euler : V - E + F = 2
Il faut savoir une chose : pour toute forme convexe, le nombre de sommets, V, moins le nombre d’arêtes, E, plus le nombre de faces, F, est égal à 2. Si vous ne connaissez pas ce résultat, on va le montrer rapidement en dessinant une forme sur la surface d’une sphère, comme on peut le faire avec toute forme convexe. Ce qui nous intéresse, c’est V - E + F.
Enlevons une arête entre deux faces, ce qui fusionne deux faces en une, et réduit donc de un le nombre d’arêtes et le nombre de faces. V - E + F ne change pas. On peut continuer jusqu’à ce qu’il ne reste qu’une seule face : la face de toute la sphère.
Comme la sphère est la seule face, les arêtes restantes ne font que relier des sommets éparpillés sur la sphère. Ces sommets peuvent être enlevés, avec l’arête qui les relie au reste. On enlève donc un sommet et une arête. Là encore, V - E + F reste le même. Si on continue ainsi, il ne reste plus qu’un seul sommet : un sommet, une face, et aucune arête. Donc V - E + F = 2.
Et comme cela n’a jamais changé, V - E + F valait 2 depuis le début. C’est vrai pour toute forme qu’on peut dessiner sur une sphère, ce qui est possible pour tout polyèdre convexe.
| V | E | F | V - E + F | |
|---|---|---|---|---|
| Tétraèdre | 4 | 6 | 4 | 2 |
| Cube | 8 | 12 | 6 | 2 |
| Dodécaèdre | 20 | 30 | 12 | 2 |
Une forme faite de triangles
Imaginons donc une forme convexe faite uniquement de triangles. On sait déjà que V - E + F = 2. Le nombre de triangles, c’est-à-dire de faces, est F. Comme chaque triangle a trois arêtes, mais que chaque arête appartient à deux triangles, et pas à un seul, le nombre d’arêtes est le nombre de faces multiplié par 3, puis divisé par 2 :
En remplaçant le nombre d’arêtes dans V - E + F = 2, on obtient :
Cela veut dire que le nombre de sommets est égal à 2 plus la moitié du nombre de faces. N’oubliez pas que ce n’est garanti que si la forme est faite de triangles, et remarquez que cela implique aussi que le nombre de triangles ne peut pas être impair, sinon le nombre d’arêtes et de sommets ne serait pas entier.
| V | E | F | |
|---|---|---|---|
| Tétraèdre | 4 | 6 | 4 |
| Bipyramide triangulaire | 5 | 9 | 6 |
| Octaèdre | 6 | 12 | 8 |
| Bipyramide pentagonale | 7 | 15 | 10 |
| Icosaèdre | 12 | 30 | 20 |
| Toute forme faite de triangles | 2 + \frac{F}{2} | \frac{3}{2}F | F |
Le défaut angulaire total vaut 720°
Quel est le défaut angulaire total de notre forme faite de triangles ? Si le défaut angulaire de chaque sommet vaut 360° moins les angles intérieurs qui s’y trouvent, alors le total vaut 360° par sommet, moins les angles intérieurs de tous les sommets.
La somme des angles intérieurs d’un triangle vaut 180°, donc la somme de tous les angles intérieurs vaut 180° fois le nombre de triangles. Notre défaut angulaire total vaut donc 360° par sommet, moins 180° par triangle.
Comme on avait une formule du nombre de sommets en fonction du nombre de triangles, V = 2 + \frac{F}{2}, on peut la remplacer ici, et on voit que tous les termes s’annulent, sauf 2 fois 360° :
Donc le défaut angulaire total vaut 720°.
Tout polyèdre, et les solides d’Archimède
Comme on a déjà montré que des triangles peuvent former n’importe quelle forme, on peut étendre cette preuve aux formes avec des faces quelconques. Et si tous les sommets sont identiques, comme dans un solide de Platon ou d’Archimède, on peut trouver le défaut angulaire simplement en divisant par le nombre de sommets. Ou l’inverse.
Par exemple, si on sait qu’un solide d’Archimède a un octogone, un hexagone et un carré à chaque sommet, les angles intérieurs de ces formes font 345° au total, donc le défaut angulaire vaut 15°. Le nombre de sommets doit donc être 720 divisé par 15, soit 48 sommets.
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Essayez par vous-même
Si vous voulez expérimenter vous-même avec des formes comme celles-ci, il y a maintenant une démo de 4D Builder sur itch.io. Même s’il est surtout fait pour jouer avec des formes en quatre dimensions, le mode Construction libre permet aussi de construire des polyèdres en trois dimensions, pour expérimenter avec les idées que nous avons vues ici.
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