多面體的角虧之和為什麼是720°

立體圖形的每個頂點都有一個角，更專業的說法叫作角虧，它大致說明了這個頂點有多平或者多尖。為什麼任何凸多面體的角虧加起來都恰好是720°？本文是我們影片的文字版，附有可以親手轉動和摺疊的插圖。

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一個歪斜的四面體，標出了每個頂點處的角虧。

如果是平的，角虧就是0°。立方體的角虧是90°。在非常尖的角上，例如下面最後一個，角虧是270°。但在任何凸多面體中，這些角虧加起來都是720°。

平的

立方體

尖角

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一個平的頂點、立方體的一個角和一個非常尖的角，以及它們的角虧。

什麼是角虧

我們先說清楚角虧是什麼意思。把多邊形拼在一起鋪滿平面時，頂點處的各個內角加起來必須是360°。但要讓多邊形組成多面體的一部分，就必須留出一個缺口，這樣頂點才能摺起來。這些內角加起來必須小於360°。比360°少了多少，就是角虧。

上：鋪滿平面時，一個頂點周圍的角加起來是360°。下：拿走一個多邊形，留下的缺口就是角虧。

你可以在下面親手摺幾個頂點看看。不管有多少個多邊形，頂點摺成一個角的時候，缺口正好合上。

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把頂點摺起來

選一個頂點，把它摺起來。橙色的缺口就是角虧。

但為什麼一個多面體的角虧加起來是720°呢？

把面分割成三角形

我們先簡化問題，假設所有的面都是三角形。可以這樣假設，因為任何多邊形都能分割成三角形。而且這樣不會改變角虧，因為每個頂點處各角的總和還是一樣的。有些角可能被分開了，但總和不變。

一個頂點處有一個六邊形和兩個正方形，用兩種不同的方式分割成三角形。左邊，頂點處的角保持原樣；右邊，這些角被分開了。無論哪種方式，它們加起來仍然是300°。

尤拉公式：V - E + F = 2

我們需要知道一個事實：對任何凸的形狀，頂點數 V，減去邊數 E，加上面數 F，等於2。如果你不熟悉這個結論，我們在球面上畫一個圖形來快速示範一下，任何凸的形狀都可以這樣畫。我們關心的是 V - E + F。

去掉兩個面之間的一條邊，兩個面就變成了一個，這樣邊數和面數都減少了一。V - E + F 不變。我們可以一直這樣做，直到只剩下一個面：也就是整個球面。

既然球面是唯一的面，剩下的邊只是在連接散落在球面上的頂點。這些頂點可以去掉，同時去掉把它們連到其餘部分的那條邊。也就是去掉一個頂點和一條邊。同樣，V - E + F 保持不變。如果一直這樣做下去，最後只會剩下一個頂點：一個頂點，一個面，沒有邊。所以 V - E + F = 2。

畫在球面上的四面體。每一步去掉兩個面之間的一條邊，或者去掉一個頂點以及把它連到其餘部分的邊，V − E + F 始終不變。

既然它從來沒有變過，V - E + F 一直都等於2。對任何能畫在球面上的圖形都是如此，而任何凸多面體都能畫在球面上。

	V	E	F	V - E + F
四面體	4	6	4	2
立方體	8	12	6	2
十二面體	20	30	12	2

由三角形組成的形狀

現在想像一個完全由三角形組成的凸的形狀。我們已經知道 V - E + F = 2。三角形的個數，也就是面數，就是 F。每個三角形有三條邊，但每條邊屬於兩個三角形，而不只是一個，所以邊數等於面數乘以3，再除以2：

\displaystyle E = \frac{3}{2}F

把邊數代入 V - E + F = 2，得到：

\displaystyle \begin{aligned} V - \frac{3}{2}F + F &= 2 \\ V - \frac{F}{2} &= 2 \\ V &= 2 + \frac{F}{2} \end{aligned}

這說明頂點數等於2加上面數的一半。記住，只有全由三角形組成時這才成立。還要注意，這意味著三角形的個數不可能是奇數，否則邊數和頂點數就不是整數了。

	V	E	F
四面體	4	6	4
雙三角錐	5	9	6
八面體	6	12	8
雙五角錐	7	15	10
二十面體	12	30	20
任何由三角形組成的形狀	2 + \frac{F}{2}	\frac{3}{2}F	F

總角虧是720°

那麼，這個由三角形組成的形狀，總角虧是多少呢？如果每個頂點的角虧是360°減去那裡的各個內角，那麼總和就是每個頂點360°，減去所有頂點處的內角。

一個三角形的內角和是180°，所以所有內角之和是180°乘以三角形的個數。所以總角虧是每個頂點360°，減去每個三角形180°。

把各個頂點摺起來

那個歪斜的四面體（上），以及把它的四個頂點展開攤平的樣子；拖曳滑桿，就能把它們摺回成四面體的角。每種顏色標出的三個角是同一個三角形的三個角，所以加起來是180°。四個頂點周圍共有 4 × 360°，減去四個三角形的 4 × 180°。

我們有一個用三角形個數表示頂點數的公式，V = 2 + \frac{F}{2}，把這個公式代進去，就會發現所有的項都消掉了，只剩下2乘以360°：

\displaystyle \begin{aligned} &\text{總角虧} \\ &\quad = 360^\circ \times V - 180^\circ \times F \\ &\quad = 360^\circ \times \left(2 + \frac{F}{2}\right) - 180^\circ \times F \\ &\quad = 2 \times 360^\circ + 180^\circ \times F - 180^\circ \times F \\ &\quad = 2 \times 360^\circ \\ &\quad = 720^\circ \end{aligned}

所以總角虧是720°。

任意多面體與阿基米德立體

我們已經說明了三角形可以組成任何形狀，所以這個證明可以推廣到任意面的多面體。如果每個頂點都一樣，例如柏拉圖立體或阿基米德立體，那麼只要除以頂點數就能求出角虧。反過來也行。

例如，如果一個阿基米德立體每個頂點處有八邊形、六邊形和正方形，這些圖形的內角加起來是345°，所以角虧是15°。所以頂點數是720除以15，即48個頂點。

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六角柱的每個頂點處有兩個正方形和一個六邊形，剩下60°，所以它有 720 ÷ 60 = 12 個頂點。大斜方截半立方體的每個頂點處有一個正方形、一個六邊形和一個八邊形，剩下15°，所以它有48個頂點。

親手試試

如果你想親自試試這樣的形狀，現在 itch.io 上已經有 4D Builder 的試玩版了。雖然它主要是用來玩四維形狀的，但在沙盒模式裡也可以搭建三維多面體，可以用它來試驗本文中的這些想法。

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