Los ángulos de un poliedro suman 720°

Cada vértice de una figura en 3D tiene un ángulo, más técnicamente llamado su defecto angular, que básicamente indica lo plano o lo puntiagudo que es. ¿Por qué los defectos angulares de cualquier poliedro convexo suman exactamente 720°? Este artículo es la versión escrita de nuestro video, con ilustraciones que puedes girar y plegar tú mismo.

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Un tetraedro irregular, con el defecto angular de cada uno de sus vértices.

Si es plano, el defecto angular es de 0°. En un cubo, el defecto angular es de 90°. En una esquina muy puntiaguda, como la última de abajo, el defecto angular es de 270°. Pero en cualquier poliedro convexo, estos defectos angulares suman 720°.

Plano

Cubo

Esquina puntiaguda

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Un vértice plano, una esquina de un cubo y una esquina muy puntiaguda, con sus defectos angulares.

Qué es el defecto angular

Aclaremos qué entendemos por defecto angular. Cuando juntas polígonos para formar un teselado, los ángulos interiores deben sumar 360°. Pero si queremos que los polígonos formen parte de un poliedro, tenemos que dejar un hueco, para que el vértice pueda plegarse. La suma de esos ángulos interiores debe ser menor que 360°. Lo que le falta para llegar a 360° es el defecto angular.

Arriba: los ángulos alrededor de un vértice de un teselado suman 360°. Abajo: si quitas un polígono, el hueco que queda es el defecto angular.

Puedes comprobarlo tú mismo plegando algunos vértices aquí abajo. Haya los polígonos que haya, el hueco se cierra justo cuando el vértice se pliega en una esquina.

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Plegar el vértice

Elige un vértice y pliégalo. El hueco naranja es el defecto angular.

Pero ¿por qué los defectos angulares de un poliedro suman 720°?

Dividir las caras en triángulos

Simplifiquemos la pregunta suponiendo que todas las caras son triángulos. Es razonable suponerlo, porque cualquier polígono se puede dividir en triángulos. Y eso no cambia el defecto angular, porque la suma de los ángulos en cada vértice sigue siendo la misma. Algunos ángulos se habrán dividido, pero sin cambiar el total.

Un hexágono y dos cuadrados en un vértice, divididos en triángulos de dos maneras distintas. A la izquierda, el vértice conserva sus ángulos; a la derecha, se dividen. En ambos casos siguen sumando 300°.

Fórmula de Euler: V - E + F = 2

Una cosa que necesitamos saber es que, en cualquier figura convexa, el número de vértices, V, menos el número de aristas, E, más el número de caras, F, es igual a 2. Si este dato no te resulta familiar, haremos una demostración rápida dibujando una figura sobre la superficie de una esfera, como se puede hacer con cualquier figura convexa. Lo que nos interesa es V - E + F.

Quitemos una arista entre dos caras, convirtiendo dos caras en una y reduciendo así el número de aristas y el número de caras en uno. V - E + F no cambia. Podemos repetirlo hasta que solo quede una cara: la cara de toda la esfera.

Como la esfera es la única cara, las aristas que quedan solo unen vértices repartidos por la esfera. Esos vértices se pueden quitar, quitando también la arista que los une al resto. Así que quitas un vértice y una arista. De nuevo, V - E + F sigue igual. Si sigues haciéndolo, acabarás con un solo vértice: un vértice, una cara y ninguna arista. Así que V - E + F = 2.

Un tetraedro dibujado sobre una esfera. Cada paso quita una arista entre dos caras, o un vértice junto con la arista que lo une al resto, y V − E + F nunca cambia.

Y como nunca cambió, V - E + F siempre fue 2. Esto vale para cualquier figura que se pueda dibujar en una esfera, y cualquier poliedro convexo se puede.

	V	E	F	V - E + F
Tetraedro	4	6	4	2
Cubo	8	12	6	2
Dodecaedro	20	30	12	2

Una figura hecha de triángulos

Así que imaginemos una figura convexa hecha solo de triángulos. Ya sabemos que V - E + F = 2. El número de triángulos, o de caras, es F. Como cada triángulo tiene tres aristas, pero cada arista pertenece a dos triángulos, no a uno solo, el número de aristas es el número de caras multiplicado por 3 y dividido entre 2:

\displaystyle E = \frac{3}{2}F

Sustituyendo el número de aristas en V - E + F = 2 queda:

\displaystyle \begin{aligned} V - \frac{3}{2}F + F &= 2 \\ V - \frac{F}{2} &= 2 \\ V &= 2 + \frac{F}{2} \end{aligned}

Eso significa que el número de vértices es 2 más la mitad del número de caras. Recuerda que esto solo está garantizado si la figura está hecha de triángulos, y fíjate en que también implica que el número de triángulos no puede ser impar, porque si no, el número de aristas y de vértices no sería entero.

	V	E	F
Tetraedro	4	6	4
Bipirámide triangular	5	9	6
Octaedro	6	12	8
Bipirámide pentagonal	7	15	10
Icosaedro	12	30	20
Cualquier figura hecha de triángulos	2 + \frac{F}{2}	\frac{3}{2}F	F

El defecto angular total es 720°

¿Cuál es el defecto angular total de nuestra figura de triángulos? Si el defecto angular de cada vértice es 360° menos los ángulos interiores que hay en él, el total debe ser 360° por cada vértice, menos los ángulos interiores de todos los vértices.

Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°, así que la suma de todos los ángulos interiores es 180° multiplicado por el número de triángulos. Por lo tanto, nuestro defecto angular total es 360° por cada vértice, menos 180° por cada triángulo.

Plegar los vértices

El tetraedro irregular (arriba) y sus cuatro vértices abiertos en plano; desliza para volver a plegarlos en sus esquinas. Los tres ángulos marcados de cada color son las esquinas de un triángulo, así que suman 180°. Alrededor de los cuatro vértices hay 4 × 360°, menos 4 × 180° por los cuatro triángulos.

Como teníamos una fórmula del número de vértices en función del número de triángulos, V = 2 + \frac{F}{2}, podemos sustituirla ahí y vemos que todos los términos se cancelan, excepto 2 multiplicado por 360°:

\displaystyle \begin{aligned} &\text{defecto angular total} \\ &\quad = 360^\circ \times V - 180^\circ \times F \\ &\quad = 360^\circ \times \left(2 + \frac{F}{2}\right) - 180^\circ \times F \\ &\quad = 2 \times 360^\circ + 180^\circ \times F - 180^\circ \times F \\ &\quad = 2 \times 360^\circ \\ &\quad = 720^\circ \end{aligned}

Así que el defecto angular total es de 720°.

Cualquier poliedro y los sólidos arquimedianos

Como ya vimos que con triángulos se puede formar cualquier figura, podemos extender esta prueba a figuras con caras de cualquier tipo. Y si todos los vértices son iguales, como en un sólido platónico o arquimediano, podríamos hallar el defecto angular simplemente dividiendo entre el número de vértices. O al revés.

Por ejemplo, si sabemos que un sólido arquimediano tiene un octógono, un hexágono y un cuadrado en cada vértice, los ángulos interiores de esas figuras suman 345°, así que el defecto angular es de 15°. El número de vértices debe ser 720 entre 15, o sea, 48 vértices.

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Cada vértice de un prisma hexagonal tiene dos cuadrados y un hexágono, que dejan 60°, así que tiene 720 ÷ 60 = 12 vértices. El cuboctaedro truncado tiene un cuadrado, un hexágono y un octógono en cada vértice, que dejan 15°, así que tiene 48.

Pruébalo tú mismo

Si quieres experimentar tú mismo con figuras como estas, ya hay una demo de 4D Builder en itch.io. Aunque está pensado sobre todo para jugar con figuras de cuatro dimensiones, el modo Construcción libre también te deja construir poliedros en tres dimensiones, así que puedes experimentar con las ideas que hemos visto aquí.

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Cuéntanos qué te ha parecido y qué más te gustaría ver en el futuro en los comentarios del video.

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