Os ângulos de um poliedro somam 720°

Todo vértice de uma forma em 3D tem um ângulo, chamado, mais tecnicamente, de defeito angular, que basicamente diz o quanto ele é plano ou pontudo. Por que os defeitos angulares de qualquer poliedro convexo somam exatamente 720°? Este artigo é a versão escrita do nosso vídeo, com ilustrações que você mesmo pode girar e dobrar.

Arraste para girar.

Um tetraedro irregular, com o defeito angular em cada um dos seus vértices.

Se ele é plano, o defeito angular é de 0°. Num cubo, o defeito angular é de 90°. Num canto bem pontudo, como o último abaixo, o defeito angular é de 270°. Mas em qualquer poliedro convexo, esses defeitos angulares somam 720°.

Plano

Cubo

Canto pontudo

Arraste para girar.

Um vértice plano, um canto de um cubo e um canto bem pontudo, com seus defeitos angulares.

O que é o defeito angular

Vamos esclarecer o que queremos dizer com defeito angular. Quando você junta polígonos para fazer um ladrilhamento, os ângulos internos precisam somar 360°. Mas se queremos que os polígonos formem parte de um poliedro, precisamos deixar uma folga, para que o vértice possa se dobrar. A soma desses ângulos internos tem que ser menor que 360°. O quanto ela fica abaixo de 360° é o defeito angular.

Em cima: os ângulos em volta de um vértice de um ladrilhamento somam 360°. Embaixo: tire um polígono, e a folga que sobra é o defeito angular.

Você mesmo pode ver isso dobrando alguns vértices abaixo. Não importa quantos polígonos haja, a folga se fecha exatamente quando o vértice se dobra num canto.

Arraste para girar.

Dobrar o vértice

Escolha um vértice e dobre-o. A folga laranja é o defeito angular.

Mas por que os defeitos angulares de um poliedro somam 720°?

Dividindo as faces em triângulos

Vamos simplificar a questão supondo que todas as faces são triângulos. É razoável supor isso, porque qualquer polígono pode ser dividido em triângulos. E isso não muda o defeito angular, porque a soma dos ângulos em cada vértice continua a mesma. Alguns ângulos podem ter sido divididos, mas sem mudar o total.

Um hexágono e dois quadrados num vértice, divididos em triângulos de duas maneiras diferentes. À esquerda, o vértice mantém seus ângulos; à direita, eles são divididos. De um jeito ou de outro, eles continuam somando 300°.

Fórmula de Euler: V - E + F = 2

Uma coisa que precisamos saber é que, para qualquer forma convexa, o número de vértices, V, menos o número de arestas, E, mais o número de faces, F, é igual a 2. Se você não conhece esse fato, vamos fazer uma demonstração rápida desenhando uma forma na superfície de uma esfera, como podemos fazer com qualquer forma convexa. O que nos interessa é V - E + F.

Vamos remover uma aresta entre duas faces, transformando duas faces em uma e reduzindo assim o número de arestas e o número de faces em um. V - E + F não muda. Podemos repetir isso até sobrar uma só face: a face da esfera inteira.

Como a esfera é a única face, as arestas restantes só ligam vértices espalhados pela esfera. Esses vértices podem ser removidos, junto com a aresta que os liga ao resto. Ou seja, você remove um vértice e uma aresta. De novo, V - E + F continua igual. Se você continuar fazendo isso, vai acabar com um só vértice: um vértice, uma face e nenhuma aresta. Então V - E + F = 2.

Um tetraedro desenhado numa esfera. Cada passo remove uma aresta entre duas faces, ou um vértice junto com a aresta que o liga ao resto, e V − E + F nunca muda.

E como nunca mudou, V - E + F sempre foi 2. Isso vale para qualquer forma que possa ser desenhada numa esfera, e qualquer poliedro convexo pode.

	V	E	F	V - E + F
Tetraedro	4	6	4	2
Cubo	8	12	6	2
Dodecaedro	20	30	12	2

Uma forma feita de triângulos

Então vamos imaginar uma forma convexa feita só de triângulos. Já sabemos que V - E + F = 2. O número de triângulos, ou de faces, é F. Como cada triângulo tem três arestas, mas cada aresta pertence a dois triângulos, e não a um só, o número de arestas é o número de faces vezes 3, dividido por 2:

\displaystyle E = \frac{3}{2}F

Substituindo o número de arestas em V - E + F = 2, temos:

\displaystyle \begin{aligned} V - \frac{3}{2}F + F &= 2 \\ V - \frac{F}{2} &= 2 \\ V &= 2 + \frac{F}{2} \end{aligned}

Isso quer dizer que o número de vértices é 2 mais a metade do número de faces. Lembre que isso só é garantido quando a forma é feita de triângulos, e note que isso também quer dizer que o número de triângulos não pode ser ímpar, senão o número de arestas e de vértices não seria inteiro.

	V	E	F
Tetraedro	4	6	4
Bipirâmide triangular	5	9	6
Octaedro	6	12	8
Bipirâmide pentagonal	7	15	10
Icosaedro	12	30	20
Qualquer forma feita de triângulos	2 + \frac{F}{2}	\frac{3}{2}F	F

O defeito angular total é 720°

Qual é o defeito angular total da nossa forma feita de triângulos? Se o defeito angular de cada vértice é 360° menos os ângulos internos ali, então o total é 360° para cada vértice, menos os ângulos internos de todos os vértices.

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, então a soma de todos os ângulos internos é 180° vezes o número de triângulos. Então o nosso defeito angular total é 360° para cada vértice, menos 180° para cada triângulo.

Dobrar os vértices

O tetraedro irregular (em cima) e seus quatro vértices abertos no plano; deslize para dobrá-los de volta em seus cantos. Os três ângulos marcados de cada cor são os cantos de um triângulo, então somam 180°. Os quatro vértices têm 4 × 360° em volta, menos 4 × 180° pelos quatro triângulos.

Como tínhamos uma fórmula do número de vértices em termos do número de triângulos, V = 2 + \frac{F}{2}, podemos substituir essa fórmula ali e descobrir que todos os termos se cancelam, menos 2 vezes 360°:

\displaystyle \begin{aligned} &\text{defeito angular total} \\ &\quad = 360^\circ \times V - 180^\circ \times F \\ &\quad = 360^\circ \times \left(2 + \frac{F}{2}\right) - 180^\circ \times F \\ &\quad = 2 \times 360^\circ + 180^\circ \times F - 180^\circ \times F \\ &\quad = 2 \times 360^\circ \\ &\quad = 720^\circ \end{aligned}

Então o defeito angular total é de 720°.

Qualquer poliedro e os sólidos arquimedianos

Como já mostramos que triângulos podem formar qualquer forma, podemos estender essa prova para formas com quaisquer faces. E se todos os vértices forem iguais, como num sólido platônico ou arquimediano, poderíamos achar o defeito angular só dividindo pelo número de vértices. Ou o contrário.

Por exemplo, se sabemos que um sólido arquimediano tem um octógono, um hexágono e um quadrado em cada vértice, os ângulos internos dessas formas somam 345°, então o defeito angular é de 15°. O número de vértices tem que ser 720 dividido por 15, ou seja, 48 vértices.

Arraste para girar.

Todo vértice de um prisma hexagonal tem dois quadrados e um hexágono, sobrando 60°, então ele tem 720 ÷ 60 = 12 vértices. O cuboctaedro truncado tem um quadrado, um hexágono e um octógono em cada vértice, sobrando 15°, então ele tem 48.

Experimente você mesmo

Se você quiser experimentar com formas como essas, agora tem uma demo do 4D Builder no itch.io. Embora ele seja feito principalmente para brincar com formas de quatro dimensões, o modo Construção livre também deixa você construir poliedros em três dimensões, então você pode experimentar as ideias que vimos aqui.

Adicionar 4D Builder à lista de desejos

Conte para a gente o que você achou disto e o que mais você gostaria de ver no futuro nos comentários do vídeo.

← Todos os artigos