Gli angoli di un poliedro sommano a 720°

Ogni vertice di una figura in 3D ha un angolo, più tecnicamente chiamato difetto angolare, che in pratica dice quanto è piatto o appuntito. Perché i difetti angolari di ogni poliedro convesso sommano esattamente a 720°? Questo articolo è la versione scritta del nostro video, con illustrazioni che puoi ruotare e piegare tu stesso.

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Un tetraedro irregolare, con il difetto angolare in ciascuno dei suoi vertici.

Se è piatto, il difetto angolare è di 0°. In un cubo, il difetto angolare è di 90°. In un angolo molto appuntito, come l’ultimo qui sotto, il difetto angolare è di 270°. Ma in qualsiasi poliedro convesso, questi difetti angolari sommati fanno 720°.

Piatto

Cubo

Angolo appuntito

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Un vertice piatto, un angolo di un cubo e un angolo molto appuntito, con i loro difetti angolari.

Cos’è il difetto angolare

Chiariamo cosa intendiamo per difetto angolare. Quando si accostano dei poligoni per formare una tassellazione, gli angoli interni devono sommare a 360°. Ma se vogliamo che i poligoni formino parte di un poliedro, dobbiamo lasciare uno spazio, così che il vertice possa piegarsi. La somma di quegli angoli interni deve essere minore di 360°. Quanto manca per arrivare a 360° è il difetto angolare.

In alto: gli angoli attorno a un vertice di una tassellazione sommano a 360°. In basso: togli un poligono, e lo spazio che resta è il difetto angolare.

Puoi verificarlo tu stesso piegando qualche vertice qui sotto. Qualunque sia il numero di poligoni, lo spazio si chiude proprio quando il vertice si piega formando un angolo.

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Piega il vertice

Scegli un vertice e piegalo. Lo spazio arancione è il difetto angolare.

Ma perché i difetti angolari di un poliedro sommano a 720°?

Dividere le facce in triangoli

Semplifichiamo la domanda supponendo che tutte le facce siano triangoli. Possiamo supporlo ragionevolmente, perché qualsiasi poligono si può dividere in triangoli. E questo non cambia il difetto angolare, perché la somma degli angoli in ogni vertice resta la stessa. Alcuni angoli possono essere stati divisi, ma senza cambiare il totale.

Un esagono e due quadrati attorno a un vertice, divisi in triangoli in due modi diversi. A sinistra il vertice mantiene i suoi angoli; a destra vengono divisi. In entrambi i casi, sommano sempre a 300°.

Formula di Eulero: V - E + F = 2

Una cosa che dobbiamo sapere è che, per qualsiasi figura convessa, il numero di vertici, V, meno il numero di spigoli, E, più il numero di facce, F, è uguale a 2. Se questo fatto non ti è familiare, faremo una breve dimostrazione disegnando una figura sulla superficie di una sfera, come si può fare con qualsiasi figura convessa. La quantità che ci interessa è V - E + F.

Togliamo uno spigolo tra due facce, trasformando due facce in una e riducendo così di uno il numero di spigoli e il numero di facce. V - E + F non cambia. Possiamo continuare finché resta una sola faccia: la faccia dell’intera sfera.

Dato che la sfera è l’unica faccia, gli spigoli rimasti collegano soltanto vertici sparsi sulla sfera. Quei vertici si possono togliere, insieme allo spigolo che li collega al resto. Quindi togli un vertice e uno spigolo. Di nuovo, V - E + F resta uguale. Se continui così, alla fine resterà un solo vertice: un vertice, una faccia e nessuno spigolo. Quindi V - E + F = 2.

Un tetraedro disegnato su una sfera. Ogni passo toglie uno spigolo tra due facce, oppure un vertice insieme allo spigolo che lo collega al resto, e V − E + F non cambia mai.

E dato che non è mai cambiato, V - E + F è sempre stato 2. Questo vale per qualsiasi figura che si possa disegnare su una sfera, e qualsiasi poliedro convesso si può.

	V	E	F	V - E + F
Tetraedro	4	6	4	2
Cubo	8	12	6	2
Dodecaedro	20	30	12	2

Una figura fatta di triangoli

Allora immaginiamo una figura convessa fatta solo di triangoli. Sappiamo già che V - E + F = 2. Il numero di triangoli, cioè di facce, è F. Dato che ogni triangolo ha tre spigoli, ma ogni spigolo appartiene a due triangoli, non a uno solo, il numero di spigoli è il numero di facce moltiplicato per 3, poi diviso per 2:

\displaystyle E = \frac{3}{2}F

Sostituendo il numero di spigoli in V - E + F = 2 si ottiene:

\displaystyle \begin{aligned} V - \frac{3}{2}F + F &= 2 \\ V - \frac{F}{2} &= 2 \\ V &= 2 + \frac{F}{2} \end{aligned}

Questo significa che il numero di vertici è 2 più metà del numero di facce. Ricorda che questo è garantito solo quando la figura è fatta di triangoli, e nota che significa anche che il numero di triangoli non può essere dispari, altrimenti il numero di spigoli e di vertici non sarebbe intero.

	V	E	F
Tetraedro	4	6	4
Bipiramide triangolare	5	9	6
Ottaedro	6	12	8
Bipiramide pentagonale	7	15	10
Icosaedro	12	30	20
Qualsiasi figura fatta di triangoli	2 + \frac{F}{2}	\frac{3}{2}F	F

Il difetto angolare totale è 720°

Qual è il difetto angolare totale della nostra figura fatta di triangoli? Se il difetto angolare di ogni vertice è 360° meno gli angoli interni lì presenti, allora il totale è 360° per ogni vertice, meno gli angoli interni di tutti i vertici.

La somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, quindi la somma di tutti gli angoli interni è 180° per il numero di triangoli. Quindi il nostro difetto angolare totale è 360° per ogni vertice, meno 180° per ogni triangolo.

Piega i vertici

Il tetraedro irregolare (in alto) e i suoi quattro vertici aperti in piano; sposta il cursore per richiuderli nei suoi angoli. I tre angoli segnati di ogni colore sono gli angoli di uno stesso triangolo, quindi sommano a 180°. Attorno ai quattro vertici ci sono 4 × 360°, meno 4 × 180° per i quattro triangoli.

Dato che avevamo una formula per il numero di vertici in funzione del numero di triangoli, V = 2 + \frac{F}{2}, possiamo sostituirla qui e scoprire che tutti i termini si cancellano, tranne 2 per 360°:

\displaystyle \begin{aligned} &\text{difetto angolare totale} \\ &\quad = 360^\circ \times V - 180^\circ \times F \\ &\quad = 360^\circ \times \left(2 + \frac{F}{2}\right) - 180^\circ \times F \\ &\quad = 2 \times 360^\circ + 180^\circ \times F - 180^\circ \times F \\ &\quad = 2 \times 360^\circ \\ &\quad = 720^\circ \end{aligned}

Quindi il difetto angolare totale è 720°.

Qualsiasi poliedro e i solidi archimedei

Dato che abbiamo già mostrato che i triangoli possono comporre qualsiasi figura, possiamo estendere questa dimostrazione a figure con facce qualsiasi. E se tutti i vertici sono uguali, come in un solido platonico o archimedeo, potremmo trovare il difetto angolare semplicemente dividendo per il numero di vertici. O viceversa.

Per esempio, se sappiamo che un solido archimedeo ha un ottagono, un esagono e un quadrato in un vertice, gli angoli interni di quelle figure sommano a 345°, quindi il difetto angolare è di 15°. Il numero di vertici deve essere 720 diviso 15, cioè 48 vertici.

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Ogni vertice di un prisma esagonale ha due quadrati e un esagono, che lasciano 60°, quindi ha 720 ÷ 60 = 12 vertici. Il cubottaedro troncato ha un quadrato, un esagono e un ottagono in ogni vertice, che lasciano 15°, quindi ne ha 48.

Provalo tu stesso

Se vuoi sperimentare tu stesso con figure come queste, ora c’è una demo di 4D Builder su itch.io. Anche se è pensato soprattutto per giocare con figure a quattro dimensioni, la modalità Costruzione libera ti permette anche di costruire poliedri tridimensionali, così puoi sperimentare con le idee che abbiamo visto qui.

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