다면체의 각 결손을 모두 더하면 720°

입체 도형의 모든 꼭짓점에는 각이 있는데, 더 정확히는 각 결손이라고 부르며, 꼭짓점이 얼마나 평평한지, 얼마나 뾰족한지를 나타냅니다. 왜 모든 볼록 다면체의 각 결손을 더하면 정확히 720°가 될까요? 이 글은 저희 영상의 글 버전으로, 직접 돌리고 접어 볼 수 있는 그림을 함께 실었습니다.

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찌그러진 사면체와, 각 꼭짓점의 각 결손.

평평하면 각 결손은 0°입니다. 정육면체에서는 각 결손이 90°입니다. 아래의 마지막 꼭짓점처럼 아주 뾰족한 꼭짓점에서는 각 결손이 270°입니다. 그런데 어떤 볼록 다면체든, 각 결손을 모두 더하면 720°가 됩니다.

평평한 꼭짓점
정육면체
뾰족한 꼭짓점

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평평한 꼭짓점, 정육면체의 꼭짓점, 아주 뾰족한 꼭짓점과 각각의 각 결손.

각 결손이란

먼저 각 결손이 무엇인지 분명히 해 봅시다. 다각형으로 평면을 빈틈없이 채울 때, 내각들은 모두 더해 360°가 되어야 합니다. 하지만 다각형으로 다면체의 일부를 만들고 싶다면, 꼭짓점이 접혀 올라갈 수 있도록 틈을 남겨 두어야 합니다. 이 내각들의 합은 360°보다 작아야 합니다. 360°에서 얼마나 모자라는지가 바로 각 결손입니다.

위: 평면 채우기에서 한 꼭짓점에 모인 각을 더하면 360°입니다. 아래: 다각형 하나를 빼면, 남은 틈이 각 결손입니다.

아래에서 꼭짓점을 직접 접어 보면 이것을 확인할 수 있습니다. 다각형이 몇 개든, 꼭짓점이 접혀 뾰족해지는 바로 그 순간 틈이 딱 닫힙니다.

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꼭짓점을 골라 접어 보세요. 주황색 틈이 각 결손입니다.

그런데 왜 다면체의 각 결손을 모두 더하면 720°가 될까요?

면을 삼각형으로 나누기

문제를 단순하게 하기 위해, 모든 면이 삼각형이라고 가정해 봅시다. 어떤 다각형이든 삼각형으로 나눌 수 있으니, 그렇게 가정해도 됩니다. 그래도 각 결손은 바뀌지 않습니다. 각 꼭짓점에 모인 각의 합이 그대로이기 때문이죠. 어떤 각은 나뉘겠지만, 합은 변하지 않습니다.

한 꼭짓점에 모인 육각형 하나와 정사각형 두 개를 두 가지 방법으로 삼각형으로 나눈 모습. 왼쪽에서는 꼭짓점의 각이 그대로이고, 오른쪽에서는 각이 나뉩니다. 어느 쪽이든 합은 여전히 300°입니다.

오일러 공식: V - E + F = 2

알아 두어야 할 사실이 하나 있습니다. 어떤 볼록한 도형이든, 꼭짓점의 수 V에서 모서리의 수 E를 빼고, 면의 수 F를 더하면 2가 됩니다. 이 사실이 낯설다면, 구의 표면에 도형을 그려서 간단히 보여 드리겠습니다. 볼록한 도형은 모두 이렇게 그릴 수 있습니다. 우리가 관심 있는 값은 V - E + F입니다.

두 면 사이의 모서리 하나를 지우면, 두 면이 하나로 합쳐지고, 모서리의 수와 면의 수가 하나씩 줄어듭니다. V - E + F는 변하지 않습니다. 면이 하나만 남을 때까지 이렇게 계속합니다. 구 전체를 덮는 면이죠.

구가 유일한 면이므로, 남은 모서리들은 구 위에 흩어진 꼭짓점들을 잇고 있을 뿐입니다. 이 꼭짓점들은 나머지와 이어 주는 모서리와 함께 지울 수 있습니다. 즉, 꼭짓점 하나와 모서리 하나를 지우는 거죠. 이번에도 V - E + F는 그대로입니다. 이렇게 계속하면, 결국 꼭짓점 하나만 남습니다. 꼭짓점 하나, 면 하나, 모서리는 없습니다. 따라서 V - E + F = 2입니다.

구 위에 그린 사면체. 각 단계에서 두 면 사이의 모서리 하나를 지우거나, 꼭짓점 하나를 그것을 나머지와 잇는 모서리와 함께 지우는데, V − E + F는 한 번도 변하지 않습니다.

그리고 한 번도 변하지 않았으니, V - E + F는 처음부터 2였던 겁니다. 이것은 구 위에 그릴 수 있는 모든 도형에서 성립하고, 볼록 다면체는 모두 구 위에 그릴 수 있습니다.

VEFV - E + F
정사면체4642
정육면체81262
정십이면체2030122

삼각형으로 이루어진 도형

그럼 삼각형으로만 이루어진 볼록한 도형을 생각해 봅시다. V - E + F = 2라는 것은 이미 알고 있습니다. 삼각형의 수, 즉 면의 수가 F입니다. 모든 삼각형에는 모서리가 세 개 있지만, 각 모서리는 삼각형 하나가 아니라 두 개에 속합니다. 그래서 모서리의 수는 면의 수에 3을 곱하고 2로 나눈 값입니다.

\displaystyle E = \frac{3}{2}F

모서리의 수를 V - E + F = 2에 대입하면 다음과 같습니다.

\displaystyle \begin{aligned} V - \frac{3}{2}F + F &= 2 \\ V - \frac{F}{2} &= 2 \\ V &= 2 + \frac{F}{2} \end{aligned}

따라서 꼭짓점의 수는 2 더하기 면의 수의 절반입니다. 이것은 도형이 삼각형으로만 이루어졌을 때만 보장된다는 점을 기억하세요. 그리고 삼각형의 수는 홀수일 수 없다는 것도 알 수 있습니다. 그렇지 않으면 모서리와 꼭짓점의 수가 정수가 되지 않으니까요.

VEF
정사면체464
맞붙인 삼각뿔596
정팔면체6128
맞붙인 오각뿔71510
정이십면체123020
삼각형으로 이루어진 모든 도형2 + \frac{F}{2}\frac{3}{2}FF

각 결손의 합은 720°

그렇다면 삼각형으로 이루어진 이 도형의 각 결손의 총합은 얼마일까요? 각 꼭짓점의 각 결손이 360°에서 그곳의 내각들을 뺀 값이라면, 총합은 꼭짓점마다 360°씩을 더한 값에서 모든 꼭짓점의 내각을 뺀 값입니다.

삼각형의 내각의 합은 180°이므로, 모든 내각의 합은 180°에 삼각형의 수를 곱한 값입니다. 따라서 각 결손의 총합은 꼭짓점마다 360°씩에서 삼각형마다 180°씩을 뺀 값입니다.

찌그러진 사면체(위)와, 그 네 꼭짓점을 평평하게 펼친 모습. 슬라이더를 움직이면 다시 접혀 꼭짓점이 됩니다. 같은 색으로 표시한 세 각은 한 삼각형의 세 각이므로, 더하면 180°입니다. 네 꼭짓점 둘레의 각은 4 × 360°에서 삼각형 네 개의 4 × 180°를 뺀 만큼입니다.

꼭짓점의 수를 삼각형의 수로 나타낸 식 V = 2 + \frac{F}{2}가 있었으니, 그 식을 여기에 대입하면 모든 항이 지워지고 2 × 360°만 남습니다.

\displaystyle \begin{aligned} &\text{각 결손의 총합} \\ &\quad = 360^\circ \times V - 180^\circ \times F \\ &\quad = 360^\circ \times \left(2 + \frac{F}{2}\right) - 180^\circ \times F \\ &\quad = 2 \times 360^\circ + 180^\circ \times F - 180^\circ \times F \\ &\quad = 2 \times 360^\circ \\ &\quad = 720^\circ \end{aligned}

따라서 각 결손의 총합은 720°입니다.

모든 다면체와 아르키메데스 다면체

삼각형으로 어떤 도형이든 만들 수 있다는 것을 이미 보였으니, 이 증명은 어떤 면을 가진 도형에도 적용됩니다. 그리고 플라톤 다면체나 아르키메데스 다면체처럼 모든 꼭짓점이 같다면, 각 결손은 꼭짓점의 수로 나누기만 하면 구할 수 있습니다. 그 반대도 됩니다.

예를 들어, 아르키메데스 다면체의 꼭짓점에 팔각형, 육각형, 정사각형이 모인다는 것을 안다면, 이 도형들의 내각의 합은 345°이므로, 각 결손은 15°입니다. 그러면 꼭짓점의 수는 720 나누기 15, 즉 48개입니다.

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육각기둥의 모든 꼭짓점에는 정사각형 두 개와 육각형 하나가 모여 60°가 남으므로, 꼭짓점은 720 ÷ 60 = 12개입니다. 깎은 육팔면체는 모든 꼭짓점에 정사각형, 육각형, 팔각형이 하나씩 모여 15°가 남으므로, 꼭짓점은 48개입니다.

직접 해 보기

이런 도형들을 직접 실험해 보고 싶다면, 이제 itch.io에 4D Builder의 데모가 나와 있습니다. 주로 4차원 도형을 가지고 노는 게임이지만, 샌드박스에서는 3차원 다면체도 만들 수 있어서, 여기서 본 아이디어를 직접 실험해 볼 수 있습니다.

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