Die Winkeldefekte eines Polyeders ergeben 720°

Jede Ecke einer 3D-Form hat einen Winkel, genauer gesagt ihren Winkeldefekt, der im Grunde angibt, wie flach oder spitz sie ist. Warum ergeben die Winkeldefekte jedes konvexen Polyeders zusammen genau 720°? Dieser Artikel ist die Schriftfassung unseres Videos, mit Abbildungen, die du selbst drehen und falten kannst.

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Ein schiefes Tetraeder mit dem Winkeldefekt an jeder seiner Ecken.

Ist sie flach, beträgt der Winkeldefekt 0°. Bei einem Würfel beträgt der Winkeldefekt 90°. Bei einer sehr spitzen Ecke, wie der letzten unten, beträgt der Winkeldefekt 270°. Aber bei jedem konvexen Polyeder ergeben diese Winkeldefekte zusammen 720°.

Flach
Würfel
Spitze Ecke

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Eine flache Ecke, eine Würfelecke und eine sehr spitze Ecke, jeweils mit ihrem Winkeldefekt.

Was der Winkeldefekt ist

Klären wir zuerst, was wir mit dem Winkeldefekt meinen. Wenn man Vielecke zu einer Parkettierung zusammenlegt, müssen die Innenwinkel zusammen 360° ergeben. Sollen die Vielecke aber Teil eines Polyeders werden, müssen wir eine Lücke lassen, damit sich die Ecke zusammenfalten kann. Die Summe dieser Innenwinkel muss kleiner als 360° sein. Wie viel sie unter 360° liegt, ist der Winkeldefekt.

Oben: Die Winkel um eine Ecke einer Parkettierung ergeben zusammen 360°. Unten: Nimmt man ein Vieleck weg, ist die verbleibende Lücke der Winkeldefekt.

Du kannst das selbst sehen, indem du unten einige Ecken zusammenfaltest. Egal wie viele Vielecke es sind, die Lücke schließt sich genau in dem Moment, in dem sich die Ecke zu einer Spitze zusammenfaltet.

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Wähle eine Ecke und falte sie zusammen. Die orange Lücke ist der Winkeldefekt.

Aber warum ergeben die Winkeldefekte eines Polyeders zusammen 720°?

Flächen in Dreiecke zerlegen

Vereinfachen wir die Frage und nehmen an, dass alle Flächen Dreiecke sind. Das dürfen wir annehmen, denn jedes Vieleck lässt sich in Dreiecke zerlegen, und das ändert den Winkeldefekt nicht, weil an jeder Ecke dieselbe Winkelsumme bleibt. Manche Winkel werden vielleicht geteilt, aber die Summe bleibt gleich.

Ein Sechseck und zwei Quadrate an einer Ecke, auf zwei verschiedene Arten in Dreiecke zerlegt. Links behält die Ecke ihre Winkel, rechts werden sie geteilt. So oder so ergeben sie zusammen immer noch 300°.

Eulersche Formel: V - E + F = 2

Eines müssen wir wissen: Bei jeder konvexen Form ergibt die Anzahl der Ecken, V, minus die Anzahl der Kanten, E, plus die Anzahl der Flächen, F, genau 2. Falls dir das neu ist, zeigen wir es kurz, indem wir eine Form auf eine Kugeloberfläche zeichnen, was mit jeder konvexen Form geht. Uns interessiert V - E + F.

Entfernen wir eine Kante zwischen zwei Flächen, sodass aus zwei Flächen eine wird und die Anzahl der Kanten und der Flächen um eins sinkt. V - E + F ändert sich nicht. Das können wir wiederholen, bis nur noch eine Fläche übrig ist: die Fläche der ganzen Kugel.

Da die Kugel die einzige Fläche ist, verbinden die übrigen Kanten nur noch Ecken, die über die Kugel verteilt sind. Diese Ecken kann man entfernen, zusammen mit der Kante, die sie mit dem Rest verbindet. Man entfernt also eine Ecke und eine Kante. Wieder bleibt V - E + F gleich. Wenn man so weitermacht, bleibt am Ende nur eine einzige Ecke übrig: eine Ecke, eine Fläche und keine Kanten. Also ist V - E + F = 2.

Ein Tetraeder, auf eine Kugel gezeichnet. Jeder Schritt entfernt eine Kante zwischen zwei Flächen oder eine Ecke samt der Kante, die sie mit dem Rest verbindet, und V − E + F ändert sich nie.

Und da es sich nie geändert hat, war V - E + F schon immer 2. Das gilt für jede Form, die man auf eine Kugel zeichnen kann, und das geht mit jedem konvexen Polyeder.

VEFV - E + F
Tetraeder4642
Würfel81262
Dodekaeder2030122

Eine Form aus Dreiecken

Stellen wir uns also eine konvexe Form vor, die nur aus Dreiecken besteht. Wir wissen bereits, dass V - E + F = 2 ist. Die Anzahl der Dreiecke, also der Flächen, ist F. Da jedes Dreieck drei Kanten hat, aber jede Kante zu zwei Dreiecken gehört, nicht nur zu einem, ist die Anzahl der Kanten die Anzahl der Flächen mal 3, geteilt durch 2:

\displaystyle E = \frac{3}{2}F

Setzt man die Anzahl der Kanten in V - E + F = 2 ein, erhält man:

\displaystyle \begin{aligned} V - \frac{3}{2}F + F &= 2 \\ V - \frac{F}{2} &= 2 \\ V &= 2 + \frac{F}{2} \end{aligned}

Die Anzahl der Ecken ist also 2 plus die Hälfte der Anzahl der Flächen. Denk daran, dass das nur garantiert ist, wenn die Form aus Dreiecken besteht. Und es folgt auch, dass die Anzahl der Dreiecke nicht ungerade sein kann, sonst wäre die Anzahl der Kanten und Ecken keine ganze Zahl.

VEF
Tetraeder464
Dreiecksbipyramide596
Oktaeder6128
Fünfecksbipyramide71510
Ikosaeder123020
Jede Form aus Dreiecken2 + \frac{F}{2}\frac{3}{2}FF

Der gesamte Winkeldefekt ist 720°

Wie groß ist der gesamte Winkeldefekt unserer Form aus Dreiecken? Wenn der Winkeldefekt jeder Ecke 360° minus die Innenwinkel dort ist, dann ist die Summe 360° für jede Ecke, minus die Innenwinkel an allen Ecken.

Die Innenwinkel eines Dreiecks ergeben zusammen 180°, also ist die Summe aller Innenwinkel 180° mal die Anzahl der Dreiecke. Unser gesamter Winkeldefekt ist also 360° für jede Ecke, minus 180° für jedes Dreieck.

Das schiefe Tetraeder (oben) und seine vier Ecken, flach ausgebreitet; mit dem Regler faltest du sie wieder zu seinen Ecken zusammen. Die drei markierten Winkel jeder Farbe sind die Ecken eines Dreiecks und ergeben also zusammen 180°. Um die vier Ecken liegen 4 × 360°, abzüglich 4 × 180° für die vier Dreiecke.

Da wir eine Formel für die Anzahl der Ecken durch die Anzahl der Dreiecke haben, V = 2 + \frac{F}{2}, können wir diese Formel hier einsetzen und sehen, dass sich alle Terme wegheben, bis auf 2 mal 360°:

\displaystyle \begin{aligned} &\text{gesamter Winkeldefekt} \\ &\quad = 360^\circ \times V - 180^\circ \times F \\ &\quad = 360^\circ \times \left(2 + \frac{F}{2}\right) - 180^\circ \times F \\ &\quad = 2 \times 360^\circ + 180^\circ \times F - 180^\circ \times F \\ &\quad = 2 \times 360^\circ \\ &\quad = 720^\circ \end{aligned}

Der gesamte Winkeldefekt beträgt also 720°.

Beliebige Polyeder und archimedische Körper

Da wir schon gezeigt haben, dass sich jede Form aus Dreiecken zusammensetzen lässt, gilt dieser Beweis auch für Formen mit beliebigen Flächen. Und wenn alle Ecken gleich sind, wie bei einem platonischen oder archimedischen Körper, dann finden wir den Winkeldefekt einfach durch Teilen durch die Anzahl der Ecken. Oder umgekehrt.

Zum Beispiel: Wenn bei einem archimedischen Körper Achteck, Sechseck und Quadrat an jeder Ecke zusammentreffen, dann ergeben deren Innenwinkel zusammen 345°, also ist der Winkeldefekt 15°. Die Anzahl der Ecken muss also 720 durch 15 sein, also 48 Ecken.

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An jeder Ecke eines Sechsecksprismas treffen zwei Quadrate und ein Sechseck zusammen, es bleiben 60°, also hat es 720 ÷ 60 = 12 Ecken. Beim großen Rhombenkuboktaeder treffen an jeder Ecke ein Quadrat, ein Sechseck und ein Achteck zusammen, es bleiben 15°, also hat es 48.

Probier es selbst aus

Wenn du selbst mit solchen Formen experimentieren möchtest, gibt es jetzt eine Demo von 4D Builder auf itch.io. Sie ist zwar vor allem zum Spielen mit vierdimensionalen Formen gedacht, aber im Modus „Freies Bauen“ kann man auch dreidimensionale Polyeder bauen, so kannst du mit den Ideen experimentieren, die wir hier gesehen haben.

4D Builder auf die Wunschliste

Sag uns in den Kommentaren unter dem Video, wie dir das gefallen hat und was du in Zukunft noch sehen möchtest.

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