De hoeken van een veelvlak tellen op tot 720°

Elk hoekpunt van een 3D-vorm heeft een hoek, technischer gezegd zijn hoekdefect, dat eigenlijk aangeeft hoe plat of scherp het is. Waarom tellen de hoekdefecten van elk convex veelvlak op tot precies 720°? Dit artikel is de geschreven versie van onze video, met illustraties die je zelf kunt draaien en opvouwen.

Sleep om te draaien.

Een scheve tetraëder, met het hoekdefect bij elk van zijn hoekpunten.

Als het plat is, is het hoekdefect 0°. Bij een kubus is het hoekdefect 90°. In een heel scherpe hoek, zoals de laatste hieronder, is het hoekdefect 270°. Maar in elk convex veelvlak tellen deze hoekdefecten op tot 720°.

Plat

Kubus

Scherpe hoek

Sleep om te draaien.

Een plat hoekpunt, een hoek van een kubus en een heel scherpe hoek, met hun hoekdefecten.

Wat het hoekdefect is

Laten we eerst duidelijk maken wat we met het hoekdefect bedoelen. Als je veelhoeken samenlegt tot een betegeling, moeten de binnenhoeken samen 360° zijn. Maar als de veelhoeken deel moeten worden van een veelvlak, dan moeten we een opening laten, zodat het hoekpunt kan opvouwen. De som van die binnenhoeken moet kleiner zijn dan 360°. Hoeveel die onder de 360° blijft, is het hoekdefect.

Boven: de hoeken rond een hoekpunt van een betegeling zijn samen 360°. Onder: haal één veelhoek weg, en de opening die overblijft is het hoekdefect.

Je kunt dit zelf zien door hieronder een paar hoekpunten op te vouwen. Hoeveel veelhoeken het ook zijn, de opening sluit precies op het moment dat het hoekpunt tot een hoek is opgevouwen.

Sleep om te draaien.

Het hoekpunt opvouwen

Kies een hoekpunt en vouw het op. De oranje opening is het hoekdefect.

Maar waarom tellen de hoekdefecten van een veelvlak op tot 720°?

Zijvlakken in driehoeken verdelen

Laten we de vraag vereenvoudigen door aan te nemen dat alle zijvlakken driehoeken zijn. Dat mogen we aannemen, want elke veelhoek kan in driehoeken worden verdeeld. En dat verandert het hoekdefect niet, want de som van de hoeken bij elk hoekpunt blijft hetzelfde. Sommige hoeken zijn misschien gesplitst, maar het totaal verandert niet.

Een zeshoek en twee vierkanten bij een hoekpunt, op twee verschillende manieren in driehoeken verdeeld. Links houdt het hoekpunt zijn hoeken; rechts worden ze gesplitst. Hoe dan ook zijn ze samen nog steeds 300°.

Formule van Euler: V - E + F = 2

Eén ding moeten we weten: voor elke convexe vorm geldt dat het aantal hoekpunten, V, min het aantal ribben, E, plus het aantal zijvlakken, F, gelijk is aan 2. Als je dat nog niet kent, laten we het snel zien door een vorm op het oppervlak van een bol te tekenen, wat met elke convexe vorm kan. Wat ons interesseert is V - E + F.

Laten we een ribbe tussen twee zijvlakken weghalen, zodat twee zijvlakken er één worden en het aantal ribben en het aantal zijvlakken met één afneemt. V - E + F verandert niet. Dat kunnen we herhalen tot er nog maar één zijvlak over is: het zijvlak van de hele bol.

Omdat de bol het enige zijvlak is, verbinden de overgebleven ribben alleen nog hoekpunten die over de bol verspreid liggen. Die hoekpunten kun je weghalen, samen met de ribbe die ze met de rest verbindt. Je haalt dus één hoekpunt en één ribbe weg. Opnieuw blijft V - E + F gelijk. Als je dat blijft doen, hou je uiteindelijk maar één hoekpunt over: één hoekpunt, één zijvlak en geen ribben. Dus V - E + F = 2.

Een tetraëder getekend op een bol. Elke stap haalt een ribbe tussen twee zijvlakken weg, of een hoekpunt met de ribbe die het met de rest verbindt, en V − E + F verandert nooit.

En omdat het nooit veranderd is, was V - E + F altijd al 2. Dat geldt voor elke vorm die je op een bol kunt tekenen, en dat kan met elk convex veelvlak.

	V	E	F	V - E + F
Tetraëder	4	6	4	2
Kubus	8	12	6	2
Dodecaëder	20	30	12	2

Een vorm van driehoeken

Stel je dus een convexe vorm voor die helemaal uit driehoeken bestaat. We weten al dat V - E + F = 2. Het aantal driehoeken, oftewel zijvlakken, is F. Omdat elke driehoek drie ribben heeft, maar elke ribbe bij twee driehoeken hoort, niet bij één, is het aantal ribben het aantal zijvlakken keer 3, gedeeld door 2:

\displaystyle E = \frac{3}{2}F

Als we het aantal ribben invullen in V - E + F = 2, krijgen we:

\displaystyle \begin{aligned} V - \frac{3}{2}F + F &= 2 \\ V - \frac{F}{2} &= 2 \\ V &= 2 + \frac{F}{2} \end{aligned}

Het aantal hoekpunten is dus 2 plus de helft van het aantal zijvlakken. Onthoud dat dit alleen gegarandeerd is als de vorm uit driehoeken bestaat. En merk op dat het aantal driehoeken dus niet oneven kan zijn, anders zou het aantal ribben en hoekpunten geen geheel getal zijn.

	V	E	F
Tetraëder	4	6	4
Driehoekige bipiramide	5	9	6
Octaëder	6	12	8
Vijfhoekige bipiramide	7	15	10
Icosaëder	12	30	20
Elke vorm van driehoeken	2 + \frac{F}{2}	\frac{3}{2}F	F

Het totale hoekdefect is 720°

Wat is het totale hoekdefect van onze vorm van driehoeken? Als het hoekdefect van elk hoekpunt 360° min de binnenhoeken daar is, dan is het totaal 360° per hoekpunt, min de binnenhoeken bij alle hoekpunten.

De binnenhoeken van een driehoek zijn samen 180°, dus de som van alle binnenhoeken is 180° keer het aantal driehoeken. Ons totale hoekdefect is dus 360° per hoekpunt, min 180° per driehoek.

De hoekpunten opvouwen

De scheve tetraëder (boven) en zijn vier hoekpunten, plat opengevouwen; verschuif de schuifbalk om ze weer op te vouwen tot zijn hoeken. De drie gemarkeerde hoeken van elke kleur zijn de hoeken van één driehoek, dus samen zijn ze 180°. Rond de vier hoekpunten ligt 4 × 360°, min 4 × 180° voor de vier driehoeken.

Omdat we een formule hadden voor het aantal hoekpunten in termen van het aantal driehoeken, V = 2 + \frac{F}{2}, kunnen we die formule hier invullen, en zien we dat alle termen tegen elkaar wegvallen, behalve 2 keer 360°:

\displaystyle \begin{aligned} &\text{totale hoekdefect} \\ &\quad = 360^\circ \times V - 180^\circ \times F \\ &\quad = 360^\circ \times \left(2 + \frac{F}{2}\right) - 180^\circ \times F \\ &\quad = 2 \times 360^\circ + 180^\circ \times F - 180^\circ \times F \\ &\quad = 2 \times 360^\circ \\ &\quad = 720^\circ \end{aligned}

Dus het totale hoekdefect is 720°.

Elk veelvlak, en archimedische lichamen

Omdat we al hebben laten zien dat driehoeken elke vorm kunnen opbouwen, kunnen we dit bewijs uitbreiden naar vormen met willekeurige zijvlakken. En als alle hoekpunten hetzelfde zijn, zoals bij een platonisch of archimedisch lichaam, dan vinden we het hoekdefect gewoon door te delen door het aantal hoekpunten. Of omgekeerd.

Bijvoorbeeld: als we weten dat een archimedisch lichaam een achthoek, een zeshoek en een vierkant in elk hoekpunt heeft, dan zijn de binnenhoeken van die vormen samen 345°, dus het hoekdefect is 15°. Het aantal hoekpunten moet dan 720 gedeeld door 15 zijn, dus 48 hoekpunten.

Sleep om te draaien.

Elk hoekpunt van een zeshoekig prisma heeft twee vierkanten en een zeshoek, wat 60° overlaat, dus het heeft 720 ÷ 60 = 12 hoekpunten. De grote rombische kuboctaëder heeft een vierkant, een zeshoek en een achthoek in elk hoekpunt, wat 15° overlaat, dus hij heeft er 48.

Probeer het zelf

Als je zelf met zulke vormen wilt experimenteren, is er nu een demo van 4D Builder op itch.io. Het is vooral bedoeld om met vierdimensionale vormen te spelen, maar in de modus ‘Vrij bouwen’ kun je ook driedimensionale veelvlakken bouwen, dus je kunt experimenteren met de ideeën die we hier hebben gezien.

4D Builder op de verlanglijst

Laat ons in de reacties bij de video weten wat je hiervan vond, en wat je in de toekomst nog wilt zien.

← Alle artikelen