多面体的角亏之和为什么是720°

立体图形的每个顶点都有一个角，更专业的说法叫作角亏，它大致说明了这个顶点有多平或者多尖。为什么任何凸多面体的角亏加起来都恰好是720°？本文是我们视频的文字版，配有可以亲手转动和折叠的插图。

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一个歪斜的四面体，标出了每个顶点处的角亏。

如果是平的，角亏就是0°。立方体的角亏是90°。在非常尖的角上，比如下面最后一个，角亏是270°。但在任何凸多面体中，这些角亏加起来都是720°。

平的

立方体

尖角

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一个平的顶点、立方体的一个角和一个非常尖的角，以及它们的角亏。

什么是角亏

我们先说清楚角亏是什么意思。把多边形拼在一起铺满平面时，顶点处的各个内角加起来必须是360°。但要让多边形组成多面体的一部分，就必须留出一个缺口，这样顶点才能折起来。这些内角加起来必须小于360°。比360°少了多少，就是角亏。

上：铺满平面时，一个顶点周围的角加起来是360°。下：拿走一个多边形，留下的缺口就是角亏。

你可以在下面亲手折几个顶点看看。不管有多少个多边形，顶点折成一个角的时候，缺口正好合上。

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把顶点折起来

选一个顶点，把它折起来。橙色的缺口就是角亏。

但为什么一个多面体的角亏加起来是720°呢？

把面分割成三角形

我们先简化问题，假设所有的面都是三角形。可以这样假设，因为任何多边形都能分割成三角形。而且这样不会改变角亏，因为每个顶点处各角的总和还是一样的。有些角可能被分开了，但总和不变。

一个顶点处有一个六边形和两个正方形，用两种不同的方式分割成三角形。左边，顶点处的角保持原样；右边，这些角被分开了。无论哪种方式，它们加起来仍然是300°。

欧拉公式：V - E + F = 2

我们需要知道一个事实：对任何凸的形状，顶点数 V，减去棱数 E，加上面数 F，等于2。如果你不熟悉这个结论，我们在球面上画一个图形来快速演示一下，任何凸的形状都可以这样画。我们关心的是 V - E + F。

去掉两个面之间的一条棱，两个面就变成了一个，这样棱数和面数都减少了一。V - E + F 不变。我们可以一直这样做，直到只剩下一个面：也就是整个球面。

既然球面是唯一的面，剩下的棱只是在连接散落在球面上的顶点。这些顶点可以去掉，同时去掉把它们连到其余部分的那条棱。也就是去掉一个顶点和一条棱。同样，V - E + F 保持不变。如果一直这样做下去，最后只会剩下一个顶点：一个顶点，一个面，没有棱。所以 V - E + F = 2。

画在球面上的四面体。每一步去掉两个面之间的一条棱，或者去掉一个顶点以及把它连到其余部分的棱，V − E + F 始终不变。

既然它从来没有变过，V - E + F 一直都等于2。对任何能画在球面上的图形都是如此，而任何凸多面体都能画在球面上。

	V	E	F	V - E + F
四面体	4	6	4	2
立方体	8	12	6	2
十二面体	20	30	12	2

由三角形组成的形状

现在想象一个完全由三角形组成的凸的形状。我们已经知道 V - E + F = 2。三角形的个数，也就是面数，就是 F。每个三角形有三条棱，但每条棱属于两个三角形，而不只是一个，所以棱数等于面数乘以3，再除以2：

\displaystyle E = \frac{3}{2}F

把棱数代入 V - E + F = 2，得到：

\displaystyle \begin{aligned} V - \frac{3}{2}F + F &= 2 \\ V - \frac{F}{2} &= 2 \\ V &= 2 + \frac{F}{2} \end{aligned}

这说明顶点数等于2加上面数的一半。记住，只有全由三角形组成时这才成立。还要注意，这意味着三角形的个数不可能是奇数，否则棱数和顶点数就不是整数了。

	V	E	F
四面体	4	6	4
双三角锥	5	9	6
八面体	6	12	8
双五角锥	7	15	10
二十面体	12	30	20
任何由三角形组成的形状	2 + \frac{F}{2}	\frac{3}{2}F	F

总角亏是720°

那么，这个由三角形组成的形状，总角亏是多少呢？如果每个顶点的角亏是360°减去那里的各个内角，那么总和就是每个顶点360°，减去所有顶点处的内角。

一个三角形的内角和是180°，所以所有内角之和是180°乘以三角形的个数。所以总角亏是每个顶点360°，减去每个三角形180°。

把各个顶点折起来

那个歪斜的四面体（上），以及把它的四个顶点展开摊平的样子；拖动滑块，就能把它们折回成四面体的角。每种颜色标出的三个角是同一个三角形的三个角，所以加起来是180°。四个顶点周围共有 4 × 360°，减去四个三角形的 4 × 180°。

我们有一个用三角形个数表示顶点数的公式，V = 2 + \frac{F}{2}，把这个公式代进去，就会发现所有的项都消掉了，只剩下2乘以360°：

\displaystyle \begin{aligned} &\text{总角亏} \\ &\quad = 360^\circ \times V - 180^\circ \times F \\ &\quad = 360^\circ \times \left(2 + \frac{F}{2}\right) - 180^\circ \times F \\ &\quad = 2 \times 360^\circ + 180^\circ \times F - 180^\circ \times F \\ &\quad = 2 \times 360^\circ \\ &\quad = 720^\circ \end{aligned}

所以总角亏是720°。

任意多面体与阿基米德立体

我们已经说明了三角形可以组成任何形状，所以这个证明可以推广到任意面的多面体。如果每个顶点都一样，比如柏拉图立体或阿基米德立体，那么只要除以顶点数就能求出角亏。反过来也行。

比如，如果一个阿基米德立体每个顶点处有八边形、六边形和正方形，这些图形的内角加起来是345°，所以角亏是15°。所以顶点数是720除以15，即48个顶点。

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六角柱的每个顶点处有两个正方形和一个六边形，剩下60°，所以它有 720 ÷ 60 = 12 个顶点。大斜方截半立方体的每个顶点处有一个正方形、一个六边形和一个八边形，剩下15°，所以它有48个顶点。

亲手试试

如果你想亲自试试这样的形状，现在 itch.io 上已经有 4D Builder 的试玩版了。虽然它主要是用来玩四维形状的，但在沙盒模式里也可以搭建三维多面体，可以用它来试验本文中的这些想法。

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