Как складывается тессеракт (гиперкуб)?

Как при складывании кубов тессеракта трёхмерная развёртка становится четырёхмерным тессерактом? Возможно, понять это поможет более внимательный взгляд на хорошо знакомые нам вращения.

Вот изображение тессеракта и его развёртка. Но как развёртка становится тессерактом?

Упрощаем вращения

Складывание тессеракта — это четырёхмерные вращения, а четырёхмерное пространство для нас довольно абстрактно. Но многие абстрактные вещи мы в итоге учимся понимать. Возможно, проблема не в том, что думать в четырёх измерениях слишком трудно, а в том, что думать о вращениях слишком легко.

В детстве нас учат складывать и умножать числа, но не учат вращать предметы, ведь это все и так умеют. Малыши тоже изучают вращения: поворачивают предметы и разглядывают, что получилось. Но раз мы интуитивно понимаем трёхмерные вращения, мы можем никогда не задумываться о них подробно, и вполне можно годами изучать математику, почти не понимая этого фундаментального понятия.

Тессеракт принадлежит к семейству фигур, куда входят квадрат и куб: у всех рёбра одинаковой длины, а все углы прямые. Раз все углы прямые, их можно изобразить вдоль каждой из осей. И значит, изучение вращений можно пока свести к поворотам на 90° между осями.

Складываем квадрат

Так что сначала подумаем о том, как сложить квадрат: только его можно идеально увидеть на двумерном экране. Развёртка квадрата — это просто четыре отрезка. Пока все они лежат на оси x. Оси x и y мы различаем по цвету, это пригодится потом.

Ещё пригодится вот что: думать об этих отрезках не столько как о лежащих на оси x, сколько как о перпендикулярных оси y.

Если повернуть правый, видно, как он переходит с оси x на ось y. Каждый поворот на 90° меняет местами оси x и y, так что фигура может перейти от положения целиком на оси x к положению, где половина сторон на оси x, а половина — на оси y.

Как изобразить куб

Теперь перейдём к кубу. Нас интересует трёхмерная фигура, а экран только двумерный, поэтому изобразить её можно по-разному.

Можно нарисовать изометрическую проекцию, где три оси расходятся на 120°. Или можно нарисовать перспективу: оси x и y остаются перпендикулярными, а предметы уменьшаются, удаляясь вдоль оси z.

Заметьте: в изометрии все квадраты искажены, но зато выглядят одинаково. В перспективе передний и задний квадраты не искажены, а остальные четыре выглядят как трапеции.

Но в любом виде мы, надеюсь, сможем найти три пары квадратов, перпендикулярных каждой оси. Если квадрат перпендикулярен оси z, его рёбра идут вдоль осей x и y. Такую пару квадратов мы увидим на обоих изображениях. Так же мы увидим пару квадратов, перпендикулярных оси y, и пару, перпендикулярных оси x.

Складываем куб

Теперь посмотрим, что будет, если все эти квадраты сначала лежат в плоскости xy, то есть перпендикулярны оси z. Возьмём только три квадрата, образующих один угол куба.

Сложим квадрат справа. Ребро, соединяющее его с соседом, идёт вдоль оси y, вокруг неё и складываем. Значит, ось y при этом вращении не меняется. А вот оси x и z поменяются местами, как в двумерном случае. Рёбра квадрата, смотревшие в направлении y, так и смотрят, а те, что шли вдоль оси x, теперь идут вдоль оси z.

Когда же ребро, вокруг которого идёт вращение, лежит вдоль оси x, как у верхнего квадрата, картина другая: рёбра, параллельные оси x, такими и остаются, а рёбра, параллельные оси y, поворачиваются и становятся параллельны оси z. В этом случае одно ребро поворачивается туда же, куда уже повернулось другое, и при складывании рёбра соединяются.

Прежде чем перейти к четырём измерениям, стоит задуматься о том, что мы видим на экране: мы так привыкли к трёхмерному миру, что мозг почти сам всё за нас достраивает.

Представьте, что вы привыкли только к двумерным изображениям и пытаетесь понять, что здесь происходит. Зная только двумерные изображения, вы уже видели, как четыре квадрата сходятся в одной вершине, но три квадрата в одном углу, как у куба, показались бы вам невозможными. В изометрии вращение выглядит как ромб, который немного искажается и превращается в иначе повёрнутый ромб. А в перспективе это выглядело бы как два квадрата, превращающиеся в трапеции. Но это был бы лишь двумерный вид того, что происходит в трёх измерениях.

Как изобразить тессеракт

Перейдём в четырёхмерие. И снова есть несколько способов изобразить дополнительную ось.

Можно снова взять перспективу. В перспективе наш куб выглядел как маленький квадрат внутри большого. А тессеракт будет выглядеть как маленький куб внутри большого куба.

Или можно снова попробовать изометрию. На плоскости мы ставили три оси на 120° друг от друга, или на 60°, если считать положительные и отрицательные полуоси. Теперь можно показать четыре оси на плоскости, расставив полуоси через 45°, и тессеракт будет выглядеть как плоский рисунок ниже. Но тогда некоторые пары осей окажутся под 90°, и не все квадраты будут выглядеть одинаково.

Другой вариант — показать четыре оси в трёхмерном пространстве. Тогда получается настоящая изометрия, где все оси расходятся примерно на 109°, и все кубы искажены, но одинаковы, как квадраты в изометрии куба. Более того, как куб в обычной изометрии выглядит шестиугольником, так и тессеракт в таком виде выглядит ромбододекаэдром.

Складываем тессеракт

Теперь посмотрим, как складываются кубы нашего тессеракта. Сначала рёбра наших кубов идут в направлениях x, y и z, так что весь куб перпендикулярен оси w.

Мы не привыкли, что куб может быть чему-то перпендикулярен, но так бывает, когда есть дополнительное измерение. На плоскости квадрат, по сути, ничему не может быть перпендикулярен. Чтобы квадрат стал перпендикулярен оси, нужно было третье измерение, а теперь, с четвёртым измерением, куб может быть перпендикулярен оси.

Заметим, что в четырёх измерениях плоскость тоже может быть перпендикулярна плоскости, поэтому вращаться мы будем не вокруг ребра, а вокруг целой грани.

Полезно также заметить, что у двумерного многоугольника сторона была границей всей фигуры, а в трёх измерениях ребро — это лишь место, где две части фигуры встречаются и сгибаются. Так же в трёх измерениях грань была границей всей фигуры, но в четырёх измерениях грань — лишь место, где встречаются две части фигуры, и вокруг неё они складываются.

Вот два куба рядом вдоль оси x. Как они сложатся? Они должны складываться вокруг грани, которой касаются друг друга, а у этой грани рёбра вдоль y и z. Эти оси должны остаться на месте, чтобы грань не изменилась. Вращаться будут оси x и w. Поэтому все рёбра второго куба, шедшие вдоль оси x, теперь идут вдоль оси w. У этого куба больше нет ничего вдоль x, поэтому теперь он перпендикулярен оси x. А раз два куба перпендикулярны разным осям, мы знаем, что они под прямым углом друг к другу.

Пойдём дальше и добавим третий куб, на этот раз рядом с первым вдоль оси y. Он тоже складывается вокруг грани, которой касается, но теперь у неё рёбра x и z, значит, эти оси не меняются, а вращаются оси y и w. Когда рёбра y этого куба поворачиваются и становятся рёбрами w, мы видим, что, как и с тремя квадратами, некоторые рёбра поворачиваются в одно и то же место, и фигура при складывании смыкается. Но на этот раз встречаются целых четыре ребра — по сути, целая грань встречается с гранью другого куба и соединяется с ней.

Теперь у нас три куба соединены гранями вокруг одного ребра. В двух измерениях нельзя соединить три квадрата вокруг вершины, а в трёх можно; так же в трёх измерениях нельзя соединить три куба вокруг ребра. Но в четырёх измерениях у нас это получилось.

Но с этим углом ещё не всё. Можно добавить четвёртый куб, на этот раз присоединённый к первому вдоль оси z. Он снова складывается вокруг грани, по которой присоединён, а раз у этой грани рёбра x и y, которые остаются на месте, вращаются оси z и w. Когда рёбра z куба становятся рёбрами w, мы снова видим, как грань из плоскости xz переходит в плоскость xw и встречает другой куб. На самом деле на этот раз две грани встречаются с двумя уже сложенными кубами.

Если взять квадрат, приставить по квадрату к каждой оси и сложить, получится один угол куба. Но странно: хоть это всего один угол, это половина куба, и вместе с таким же углом она составляет целый куб.

Так же здесь мы взяли куб, приставили по кубу к каждой оси и сложили. Теперь четыре куба образуют один угол тессеракта. И это половина тессеракта, которая вместе с таким же углом составляет целый тессеракт. (Отметьте «Показать вторую половину» на рисунках выше, чтобы увидеть такой же угол, который дополняет каждую фигуру.)

Ещё о четвёртом измерении

Надеюсь, теперь понятнее, что значит складывание фигур в четырёх измерениях. Если хотите поиграть с тессерактами, играйте бесплатно в Tesseract 261 на itch.io.

Но четырёхмерные фигуры — это не только тессеракт. Как в трёх измерениях есть не только куб, но и четыре других платоновых тела, а также архимедовы и каталановы тела и многое другое, так и в четырёх измерениях есть множество интересных фигур. Их можно рассмотреть и развернуть в 4D Viewer, а построить и сложить некоторые фигуры самому можно в демоверсии 4D Builder на itch.io.

Добавить 4D Builder в желаемое

← Все статьи