¿Cómo se pliega un teseracto?

Al plegar los cubos de un teseracto, ¿cómo acaba el desarrollo 3D convertido en un teseracto 4D? Pensar con más detenimiento en las rotaciones que ya conocemos puede ayudarnos a entenderlo.

Aquí tienes una representación de un teseracto y su desarrollo. Pero ¿cómo se convierte un desarrollo en un teseracto?

Simplificar las rotaciones

Plegar el teseracto implica rotaciones 4D, y el espacio de cuatro dimensiones nos resulta bastante abstracto. Pero hay muchas cosas abstractas que acabamos aprendiendo a entender. Quizá el problema no sea que pensar en cuatro dimensiones resulte demasiado difícil, sino que pensar en rotaciones resulta demasiado fácil.

De pequeños nos enseñan a sumar y multiplicar números, pero no nos enseñan a girar cosas, porque eso ya lo sabemos todos. Se ve a los bebés aprendiendo sobre las rotaciones, dando vueltas a los objetos y examinando el resultado, pero como tenemos una comprensión intuitiva de las rotaciones en 3D, puede que nunca nos paremos a pensar en ellas en detalle, y es perfectamente posible estudiar matemáticas durante años sin llegar a entender bien este concepto fundamental.

El teseracto forma parte de una familia de formas, que incluye el cuadrado y el cubo, en la que todas las aristas miden lo mismo y todos los ángulos son rectos. Que todos los ángulos sean rectos significa que podemos representarlas a lo largo de cada uno de los ejes. Y significa que, por ahora, podemos simplificar nuestro estudio de las rotaciones a solo rotaciones de 90° entre los ejes.

Plegar un cuadrado

Así que primero pensemos en plegar un cuadrado, ya que es lo único que podemos ver perfectamente en una pantalla bidimensional. El desarrollo de un cuadrado son simplemente cuatro segmentos. Por ahora, todos están sobre el eje x. Distinguiremos los ejes x e y por sus colores, lo que nos será útil más adelante.

Otra cosa que nos será útil más adelante es intentar pensar en estas líneas no tanto como si estuvieran sobre el eje x, sino más bien como perpendiculares al eje y.

Si giramos la de la derecha, verás que pasa del eje x al eje y. Cada rotación de 90° intercambia las cosas entre los ejes x e y, de modo que la forma completa puede pasar de estar entera sobre el eje x a tener la mitad de sus lados sobre el eje x y la otra mitad sobre el eje y.

Representar un cubo

Pasemos ahora a un cubo. Como ahora nos interesa una forma tridimensional, pero la pantalla solo tiene dos dimensiones, tenemos varias opciones para representarla.

Podemos dibujar las cosas en una vista isométrica, trazando los tres ejes a 120° entre sí. O podemos dibujar una vista en perspectiva, en la que los ejes x e y siguen siendo perpendiculares y las cosas se hacen más pequeñas a medida que se alejan a lo largo del eje z.

Fíjate en que, en la vista isométrica, todos los cuadrados se ven deformados, pero al menos todos se ven idénticos. En la vista en perspectiva, los cuadrados delantero y trasero no tienen ninguna deformación, pero los otros cuatro parecen trapecios.

Pero en cualquiera de las dos vistas, con suerte podremos distinguir tres pares de cuadrados, perpendiculares a cada eje. Si un cuadrado es perpendicular al eje z, sus aristas deberían estar a lo largo de los ejes x e y. Deberíamos ver un par de cuadrados así en ambas vistas. Del mismo modo, deberíamos ver un par de cuadrados perpendiculares al eje y, y un par de cuadrados perpendiculares al eje x.

Plegar un cubo

Veamos ahora qué pasa si todos estos cuadrados empiezan en el plano xy, es decir, perpendiculares al eje z. Aquí nos centraremos solo en tres cuadrados, que forman una esquina del cubo.

Pleguemos el cuadrado de la derecha. La arista que une este cuadrado con su vecino está a lo largo del eje y, así que ese es el eje alrededor del cual lo plegaremos. Por tanto, el eje y no cambiará en esta rotación. Los ejes x y z, en cambio, van a intercambiar sus lugares, como pasaba en el caso bidimensional. Las aristas del cuadrado que apuntaban en la dirección y siguen apuntando hacia el mismo lado, pero las que estaban a lo largo del eje x ahora apuntan a lo largo del eje z.

Ahora bien, cuando la arista alrededor de la cual giramos está a lo largo del eje x, como ocurre con el cuadrado de arriba, vemos en cambio que las aristas paralelas al eje x seguirán así, mientras que las que eran paralelas al eje y ahora girarán hasta quedar paralelas al eje z. En este caso, una arista va a girar hacia la misma posición a la que ya giró una arista anterior, y las aristas se unirán a medida que se pliega.

Antes de pasar a un caso de cuatro dimensiones, vale la pena detenerse un momento a pensar en lo que vemos en la pantalla, porque estamos tan acostumbrados al mundo tridimensional que nuestro cerebro casi le da sentido por nosotros.

Imagina que solo estás acostumbrado a ver imágenes bidimensionales, y que intentas reconocer lo que está pasando aquí. Al estar acostumbrado solo a imágenes bidimensionales, ya habrías visto cuatro cuadrados encontrarse en una esquina, pero tres cuadrados encontrándose en una esquina, como ocurre en un cubo, podría parecerte absurdo. En la imagen isométrica, la rotación parece un rombo que simplemente se deforma un poco hasta acabar siendo un rombo con otra orientación. Y en la vista en perspectiva, parecería que dos cuadrados se convierten en trapecios. Pero eso no sería más que tu visión 2D de lo que estaba pasando en 3D.

Representar un teseracto

Pasemos, pues, a 4D. Y de nuevo, tendremos varias opciones para representar nuestro eje adicional.

Otra vez podemos usar la perspectiva. Esta perspectiva hacía que nuestro cubo pareciera un cuadrado pequeño dentro de un cuadrado más grande. Hará que nuestro teseracto parezca un cubo pequeño dentro de un cubo más grande.

O, de nuevo, podríamos intentar usar una vista isométrica. Mostramos los tres ejes en 2D colocándolos a 120° entre sí o, si incluyes los ejes positivos y negativos, a 60°. Ahora podemos mostrar cuatro ejes en 2D, con los ejes positivos y negativos separados 45°, lo que da a un teseracto el aspecto del dibujo plano de abajo. Pero esto significa que algunos pares de ejes estarán a 90° entre sí, y no todos los cuadrados se verán iguales.

Otra opción es mostrar los cuatro ejes en 3D, donde sí podemos dar una auténtica vista isométrica, con todos los ejes a unos 109° entre sí, de modo que todos los cubos se ven deformados pero idénticos, igual que los cuadrados en la vista isométrica del cubo. De hecho, igual que un cubo en la vista isométrica habitual parece un hexágono, un teseracto en esta vista parece un dodecaedro rómbico.

Plegar un teseracto

Empecemos ahora a ver cómo se pliegan los cubos de nuestro teseracto. Aquí nuestros cubos empiezan con sus aristas en las direcciones x, y y z, así que el cubo entero es perpendicular al eje w.

No estamos acostumbrados a que un cubo sea perpendicular a nada, pero esto es lo que pasa cuando tienes una dimensión más. En el plano, un cuadrado no podía ser realmente perpendicular a nada. Hizo falta una tercera dimensión para que el cuadrado fuera perpendicular a un eje, y ahora que tenemos una cuarta dimensión, un cubo puede ser perpendicular a un eje.

Algo llamativo es que, ahora que estamos en cuatro dimensiones, un plano también puede ser perpendicular a un plano, y por eso, en lugar de girar alrededor de una arista, vamos a girar alrededor de una cara entera.

También puede ayudar fijarse en que, en un polígono 2D, una arista era el borde de la forma entera, mientras que en 3D una arista pasa a ser simplemente el lugar donde dos partes de una forma se encuentran y se pliegan. Del mismo modo, en 3D una cara era el borde de la forma entera, pero en 4D una cara será simplemente el lugar donde dos partes de la forma se encuentran, y será aquello alrededor de lo cual se pliegan.

Aquí tenemos solo dos cubos, uno junto al otro a lo largo del eje x. ¿Cómo se plegarán? Tienen que plegarse alrededor de la cara por la que se tocan, y esa cara tiene aristas y y z. Estos tienen que ser los ejes que se quedan donde están, para que esa cara no cambie. Los ejes x y w serán los ejes de esta rotación. Así que todas las aristas de este segundo cubo que apuntaban a lo largo del eje x ahora apuntarán a lo largo del eje w. Como este cubo ya no tiene nada que apunte en la dirección x, ahora es perpendicular al eje x. Y como los dos cubos son perpendiculares a dos ejes distintos, sabemos que forman un ángulo recto entre sí.

Vayamos más allá y añadamos un tercer cubo, esta vez junto al primero a lo largo del eje y. Sigue teniendo que plegarse alrededor de la cara por la que toca al primero, pero ahora esa cara tiene aristas x y z, así que esos ejes tienen que quedar sin cambios, y son los ejes y y w los que van a girar. A medida que las aristas y de este cubo giran para convertirse en aristas w, nos damos cuenta de que, igual que cuando unimos tres cuadrados, vamos a empezar a girar algunas aristas hacia el mismo lugar que otras, de modo que la forma pueda unirse a medida que se pliega. Pero esta vez son cuatro aristas enteras las que se van a encontrar; de hecho, es una cara entera la que va a encontrarse y unirse con la cara de otro cubo.

Ahora tenemos tres cubos unidos cara con cara alrededor de esta única arista. Igual que en 2D no sería posible unir tres cuadrados alrededor de un vértice, pero en 3D sí funciona, en 3D no sería posible unir tres cubos alrededor de una arista. Pero en 4D lo hemos conseguido.

Pero aún no hemos terminado con esta esquina. Todavía podemos añadir un cuarto cubo, esta vez unido al primero a lo largo del eje z. De nuevo, se plegará alrededor de la cara por la que está unido, y como esa cara tiene aristas x e y, que se quedarán quietas, los ejes z y w girarán. A medida que las aristas z del cubo se convierten en aristas w, volveremos a ver que una cara que estaba en el plano xz se pliega hasta el plano xw, y así acaba encontrándose con otro cubo. De hecho, esta vez dos de las caras se pliegan hasta encontrarse con los dos cubos que ya hemos plegado.

Ahora bien, si hubiéramos tomado un cuadrado, puesto un cuadrado en cada eje y los hubiéramos plegado, habríamos formado una esquina de un cubo. Pero, curiosamente, aunque sea solo una esquina, es la mitad del cubo, y se puede juntar con una esquina idéntica para formar un cubo entero.

Del mismo modo, aquí hemos tomado un cubo, hemos puesto un cubo en cada eje y los hemos plegado. Y ahora tenemos cuatro cubos que forman una esquina del teseracto. Y esa es una mitad del teseracto que podría juntarse con una esquina idéntica para construir un teseracto completo. (Marca «Mostrar la otra mitad» en las figuras de arriba para ver la esquina idéntica que completa cada forma).

Más sobre la cuarta dimensión

Espero que esto te haya ayudado a entender qué queremos decir cuando hablamos de formas que se pliegan en cuatro dimensiones. Si quieres jugar con teseractos, puedes jugar gratis a Tesseract 261 en itch.io.

Pero las formas de cuatro dimensiones van mucho más allá del teseracto. Igual que en tres dimensiones no solo está el cubo, sino también otros cuatro sólidos platónicos, además de los sólidos arquimedianos, los sólidos de Catalan y muchos más, en cuatro dimensiones también hay muchísimas formas interesantes. Puedes examinarlas y desplegarlas en el visor 4D, y puedes probar a construir y plegar algunas formas tú mismo en la demo de 4D Builder en itch.io.

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