正八胞體是如何摺疊的？

摺疊正八胞體的各個立方體時，三維的展開圖是怎麼變成四維的正八胞體的？更仔細地想一想我們早已熟悉的旋轉，或許能幫助我們理解。

這裡畫的是一個正八胞體和它的展開圖。可是，展開圖是怎麼變成正八胞體的呢？

簡化旋轉

摺疊正八胞體會用到四維旋轉，而四維空間對我們來說相當抽象。不過，有很多抽象的東西，我們最後都學會了理解。也許問題並不在於用四維的方式思考太難，而在於思考旋轉太容易了。

我們小時候會學數字的加法和乘法，卻沒有人教我們怎麼旋轉東西，因為這個大家早就會了。你會看到小寶寶在學習旋轉：把東西轉來轉去，觀察轉完的樣子。但正因為我們對三維旋轉有直覺上的理解，我們可能從來不會仔細去想它；一個人完全有可能學了好多年數學，卻對這個基本概念沒有多少理解。

正八胞體屬於一個圖形家族，這個家族還包括正方形和立方體，它們的所有邊都一樣長，所有角都是直角。所有角都是直角，代表我們可以讓它們沿著各個軸擺放來呈現。這也代表，我們暫時可以把對旋轉的研究簡化成只考慮軸與軸之間的90°旋轉。

摺疊正方形

那麼，我們先來想想怎麼摺疊一個正方形，因為它是唯一能在二維螢幕上完美呈現的東西。正方形的展開圖就是四條線段。現在它們都在x軸上。我們會用顏色來區分x軸和y軸，這在後面會很有用。

另一件對後面很有幫助的事，是試著不要把這些線段看成「在x軸上」，而是多把它們看成「垂直於y軸」。

如果我們旋轉右邊那條線段，你會看到它從x軸變到了y軸上。每次90°旋轉都會讓東西在x軸和y軸之間互換，所以整個圖形可以從完全在x軸上，變成一半的邊在x軸上、一半的邊在y軸上。

呈現立方體

現在我們升級到立方體。我們現在關心的是一個三維圖形，而螢幕只有二維，所以要怎麼呈現它，我們有幾種選擇。

我們可以用等角投影圖來畫，把三個軸畫成彼此相隔120°。或者，我們可以畫透視圖：x軸和y軸保持垂直，東西沿著z軸往後退時會變小。

注意，在等角投影圖中，所有正方形看起來都變形了，但至少它們看起來都一模一樣。在透視圖中，前後兩個正方形沒有變形，但其餘四個正方形看起來都像梯形。

但不管在哪種圖中，我們應該都能找出三對正方形，分別垂直於各個軸。如果一個正方形垂直於z軸，它的邊就應該沿著x軸和y軸。在兩種圖中，我們都應該能看到這樣的一對正方形。同樣地，我們應該能看到一對垂直於y軸的正方形，以及一對垂直於x軸的正方形。

摺疊立方體

現在來看看，如果這些正方形一開始都在xy平面上，也就是垂直於z軸，會發生什麼事。這裡我們只關注三個正方形，它們構成立方體的一個角。

我們來摺右邊的正方形。把這個正方形和相鄰正方形連起來的那條邊沿著y軸，所以我們就繞著這個軸摺疊。因此在這次旋轉中，y軸不會改變。不過x軸和z軸會互換位置，就像在二維的情況中那樣。這個正方形原本朝著y方向的邊仍然朝著同一個方向，但原本沿著x軸的邊現在指向z軸方向。

而當作為旋轉軸的那條邊沿著x軸時，就像上面那個正方形那樣，我們會看到，所有平行於x軸的邊都會保持不變，而原本平行於y軸的邊則會轉到平行於z軸。在這種情況下，有一條邊會轉向先前另一條邊已經轉到的位置，於是在摺疊的過程中，邊會彼此接上。

在進入四維的情況之前，值得花點時間想想我們在螢幕上看到的東西，因為我們太習慣三維世界了，大腦幾乎會自動幫我們把它理解好。

想像一下，你只習慣看二維影像，並試著搞懂這裡發生了什麼事。因為只習慣二維影像，你以前看過四個正方形在一個角相會，但三個正方形在一個角相會，就像立方體那樣，可能就顯得不太合理。在等角投影圖中，這個旋轉看起來就像一個菱形稍微變了變形，最後變成一個朝向不同的菱形。而在透視圖中，它看起來就像兩個正方形變成了梯形。但這些都只是你對三維中所發生之事的二維視角。

呈現正八胞體

那麼，我們進入四維吧。同樣地，對於怎麼呈現多出來的這個軸，我們也有幾種選擇。

同樣地，我們可以使用透視。這種透視讓我們的立方體看起來像是大正方形裡套著一個小正方形。它會讓我們的正八胞體看起來像是大立方體裡套著一個小立方體。

或者，我們也可以再試試等角投影。我們在二維中表示三個軸時，是讓它們彼此相隔120°；如果把正軸和負軸都算進去，就是相隔60°。現在我們可以在二維中表示四個軸，讓正軸和負軸之間相隔45°，這樣畫出來的正八胞體就像下面那個平面的圖。但這代表有些軸之間會相隔90°，並不是所有正方形看起來都一樣。

另一個選擇是在三維中表示這四個軸，這樣就能得到真正的等角投影：所有軸彼此相隔約109°，於是所有立方體看起來都變形了，但彼此一模一樣，就像立方體的等角投影圖中的正方形那樣。事實上，正如一般的等角投影圖中立方體看起來像一個六邊形，在這種圖中，正八胞體看起來就像一個菱形十二面體。

摺疊正八胞體

現在，我們開始來看正八胞體的各個立方體是怎麼摺起來的。這裡的立方體一開始的邊都沿著x、y和z方向，所以整個立方體垂直於w軸。

我們不習慣說一個立方體垂直於什麼東西，但當你多了一個維度，就會出現這種情況。在平面上，正方形其實沒辦法垂直於任何東西。要有了第三個維度，正方形才能垂直於一個軸；而現在我們有了第四個維度，立方體也就能垂直於一個軸了。

值得注意的是，既然我們現在身處四維，一個平面也可以垂直於另一個平面，這就是為什麼我們不再繞著一條邊旋轉，而是要繞著一整個面旋轉。

還有一點或許有幫助：在二維的多邊形中，邊是整個圖形的邊界；而在三維中，邊只是圖形的兩部分相接、摺疊的地方。同樣地，在三維中，面是整個圖形的邊界；但在四維中，面只是圖形的兩部分相接的地方，也是它們摺疊時所繞的東西。

這裡只有兩個沿著x軸並排放著的立方體。它們會怎麼摺疊呢？它們一定是繞著彼此接觸的那個面摺疊，而這個面的邊是y邊和z邊。這兩個軸一定會保持不動，這樣這個面才不會改變。這次旋轉是在x軸和w軸之間進行的。所以，第二個立方體中原本指向x軸方向的邊，現在都會指向w軸方向。由於這個立方體不再有任何指向x方向的東西，它現在就垂直於x軸了。又因為這兩個立方體垂直於兩個不同的軸，我們就知道它們彼此成直角。

我們再進一步，加上第三個立方體，這次它沿著y軸緊鄰第一個立方體。它仍然要繞著它所接觸的那個面摺疊，但現在這個面的邊是x邊和z邊，所以這兩個軸必須保持不變，而旋轉的是y軸和w軸。當這個立方體的y邊轉成w邊時，我們會注意到，就像把三個正方形接在一起時那樣，我們會開始把一些邊轉到同一個位置，這樣圖形在摺疊時就能接合起來。不過這一次，彼此相會的是整整四條邊——事實上，是一整個面會與另一個立方體的面相會並接合。

現在我們有三個立方體，繞著這一條邊面對面地連在一起。就像在二維中不可能把三個正方形繞著一個頂點拼在一起，而在三維中卻可以那樣；在三維中也不可能把三個立方體繞著一條邊拼在一起。但在四維中，我們做到了。

不過，這個角還沒有完成。我們還可以再加上第四個立方體，這次它沿著z軸連在第一個立方體上。同樣地，它會繞著連接處的那個面摺疊；由於這個面的邊是x邊和y邊，它們會保持不動，於是旋轉的是z軸和w軸。當這個立方體的z邊變成w邊時，我們會再次看到，一個原本在xz平面上的面摺進了xw平面，於是最後和另一個立方體相會。事實上，這一次有兩個面摺過去，分別與我們已經摺好的兩個立方體相會。

如果我們拿一個正方形，在每個軸上各放一個正方形，然後把它們摺起來，就會得到立方體的一個角。但奇妙的是，雖然它只是一個角，它卻是立方體的一半，可以和一個完全相同的角拼在一起，組成一個完整的立方體。

同樣地，這裡我們拿了一個立方體，在每個軸上各放一個立方體，然後把它們摺起來。現在我們有了四個立方體，構成正八胞體的一個角。而這就是正八胞體的一半，可以和一個完全相同的角拼在一起，構成一個完整的正八胞體。（勾選上面各圖中的「顯示另一半」，就能看到補全每個圖形的那個相同的角。）

第四維的更多內容

希望這能幫助你理解，當我們說圖形在四維中摺疊時，指的是什麼。如果你想玩玩正八胞體，可以在 itch.io 上免費玩 Tesseract 261。

不過，四維圖形遠不只有正八胞體。就像在三維中不只有立方體，還有另外四種柏拉圖立體，以及阿基米德立體、卡塔蘭立體等等，四維中也有許多更有趣的圖形。你可以在4D檢視器中查看它們、把它們展開，也可以在 itch.io 上的 4D Builder 試玩版中親手試著搭建和摺疊一些圖形。

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