4차원 초입방체(정팔포체·테서랙트)는 어떻게 접힐까?

정팔포체의 정육면체들을 접을 때, 3차원 전개도는 어떻게 4차원 정팔포체가 될까요? 우리가 잘 아는 회전을 더 꼼꼼히 생각해 보면 이해하는 데 도움이 될지도 모릅니다.

정팔포체와 그 전개도를 그린 그림입니다. 그런데 전개도가 어떻게 정팔포체가 될까요?

회전을 단순하게 생각하기

정팔포체를 접으려면 4차원 회전이 필요한데, 4차원 공간은 우리에게 꽤 추상적입니다. 하지만 추상적이어도 결국 이해하게 되는 것은 많습니다. 어쩌면 문제는 4차원으로 생각하기가 너무 어려운 게 아니라, 회전을 생각하기가 너무 쉬운 것일지도 모릅니다.

어릴 때 덧셈과 곱셈은 배우지만, 물건을 돌리는 법은 배우지 않습니다. 다들 이미 아니까요. 아기들도 물건을 이리저리 돌려 보고 결과를 살피며 회전을 배웁니다. 하지만 3차원 회전은 직관적으로 알기 때문에, 자세히 생각해 볼 일이 없을지도 모릅니다. 수학을 몇 년이나 공부하고도 이 기본 개념을 잘 모르는 일은 충분히 있습니다.

정팔포체는 정사각형, 정육면체와 같은 도형 가족입니다. 모두 모서리 길이가 같고, 각이 모두 직각이죠. 모든 각이 직각이라서, 각 축을 따라 나타낼 수 있습니다. 또 회전 공부도 당분간은 축과 축 사이의 90° 회전만으로 단순화할 수 있습니다.

정사각형 접기

먼저 정사각형을 접는 것부터 생각해 봅시다. 2차원 화면에서 완벽하게 보이는 건 이것뿐이니까요. 정사각형의 전개도는 선분 네 개일 뿐입니다. 지금은 모두 x축 위에 있습니다. x축과 y축은 색으로 구분하겠습니다. 나중에 도움이 될 거예요.

나중에 도움이 될 또 한 가지는, 이 선들이 x축 위에 있다고 생각하기보다 y축에 수직이라고 생각하는 것입니다.

오른쪽 것을 회전시키면, x축에서 y축으로 바뀌는 것을 볼 수 있습니다. 90° 회전할 때마다 x축과 y축이 서로 바뀝니다. 그래서 도형 전체가 모두 x축 위에 있던 상태에서, 변의 절반은 x축, 나머지 절반은 y축 위에 있는 상태가 됩니다.

정육면체 그리기

이제 정육면체로 넘어가 봅시다. 이번엔 3차원 도형이지만 화면은 2차원이라서, 그리는 방법이 몇 가지 있습니다.

등각 투영도로 그릴 수 있습니다. 세 축을 120°씩 떨어뜨려 그리는 방법이죠. 또는 투시도로 그릴 수도 있습니다. x축과 y축은 수직을 유지하고, z축을 따라 뒤로 갈수록 작아집니다.

등각 투영도에서는 정사각형이 모두 찌그러져 보이지만, 적어도 모두 똑같아 보입니다. 투시도에서는 앞뒤 정사각형은 찌그러지지 않지만, 나머지 네 개는 사다리꼴로 보입니다.

하지만 어느 쪽이든, 각 축에 수직인 정사각형 쌍 세 개를 찾을 수 있을 겁니다. z축에 수직인 정사각형이라면, 그 변은 x축과 y축을 따라 있어야 합니다. 두 그림 모두에서 이런 정사각형 한 쌍이 보일 겁니다. 마찬가지로 y축에 수직인 정사각형 한 쌍과, x축에 수직인 정사각형 한 쌍도 보일 겁니다.

정육면체 접기

이제 정사각형들이 모두 xy 평면, 즉 z축에 수직인 상태에서 시작하면 어떻게 되는지 봅시다. 여기서는 정육면체의 한 꼭짓점을 이루는 정사각형 세 개만 보겠습니다.

오른쪽 정사각형을 접어 봅시다. 이 정사각형과 옆 정사각형을 잇는 모서리는 y축을 따라 있습니다. 그러니 이 축을 중심으로 접습니다. 그래서 이 회전에서 y축은 바뀌지 않습니다. 하지만 x축과 z축은 2차원 때처럼 서로 자리를 바꿉니다. 이 정사각형에서 y 방향을 향하던 모서리는 그대로 같은 방향이지만, x축을 따라 있던 모서리는 이제 z축을 따라 놓입니다.

이번에는 위쪽 정사각형처럼 회전의 중심이 되는 모서리가 x축을 따라 있으면, x축에 평행한 모서리는 그대로 남습니다. 반면 y축에 평행했던 모서리는 회전해서 z축에 평행해집니다. 이 경우 한 모서리가, 앞서 다른 모서리가 회전해 간 자리로 향하기 때문에, 접히면서 모서리끼리 맞붙게 됩니다.

4차원으로 넘어가기 전에, 화면에서 본 것을 잠깐 생각해 봅시다. 우리는 3차원 세계에 너무 익숙해서 뇌가 거의 알아서 이해해 주니까요.

2차원 이미지만 봐 왔는데, 여기서 무슨 일이 일어나는지 알아보려 한다고 상상해 보세요. 2차원 이미지만 익숙하다면, 정사각형 네 개가 한 꼭짓점에서 만나는 건 봤겠지만, 정육면체처럼 세 개가 한 꼭짓점에서 만나는 건 말이 안 돼 보일 수 있습니다. 등각 투영도에서는 회전이, 마름모가 조금씩 찌그러지다가 방향이 다른 마름모가 되는 것처럼 보입니다. 투시도에서는 정사각형 두 개가 사다리꼴로 바뀌는 것처럼 보이겠죠. 하지만 이건 3차원에서 일어나는 일을 2차원으로 본 것일 뿐입니다.

정팔포체 그리기

그럼 4차원으로 가 봅시다. 이번에도 늘어난 축을 그리는 방법이 몇 가지 있습니다.

이번에도 투시도를 쓸 수 있습니다. 투시도에서 정육면체는 큰 정사각형 안의 작은 정사각형처럼 보였습니다. 그러면 정팔포체는 큰 정육면체 안의 작은 정육면체처럼 보입니다.

아니면 이번에도 등각 투영도를 써 볼 수 있습니다. 2차원에서는 세 축을 120°씩 떨어뜨려 그렸습니다. 양의 축과 음의 축을 모두 넣으면 60°씩이죠. 이제 양과 음의 축을 45°씩 띄우면 2차원에서 네 축을 나타낼 수 있고, 정팔포체는 아래의 평면 그림처럼 보입니다. 하지만 그러면 90° 떨어진 축 쌍도 생겨서, 모든 정사각형이 같아 보이지는 않습니다.

다른 방법은 네 축을 3차원으로 나타내는 것입니다. 모든 축이 약 109°씩 떨어진 진짜 등각 투영도가 되어, 정육면체의 등각 투영도에서 정사각형이 그랬듯이, 모든 정육면체가 찌그러져 보이지만 똑같아 보입니다. 사실 보통의 등각 투영도에서 정육면체가 육각형처럼 보이듯이, 이 방법에서 정팔포체는 마름모십이면체처럼 보입니다.

정팔포체 접기

이제 정팔포체의 정육면체들이 접히는 모습을 봅시다. 여기서 정육면체들은 처음에 모서리가 x, y, z 방향을 향하고 있습니다. 그래서 정육면체 전체가 w축에 수직입니다.

정육면체가 무언가에 수직이라는 건 낯설지만, 차원이 하나 더 있으면 이렇게 됩니다. 평면에서는 정사각형이 무언가에 수직일 수 없었습니다. 정사각형이 축에 수직이 되려면 세 번째 차원이 필요했죠. 이제 네 번째 차원이 있으니, 정육면체도 축에 수직일 수 있습니다.

눈여겨볼 점은, 4차원에서는 평면이 평면에 수직일 수도 있다는 것입니다. 그래서 모서리를 중심으로 회전하는 대신, 면 전체를 중심으로 회전합니다.

2차원 다각형에서 변은 도형 전체의 경계였지만, 3차원에서 모서리는 도형의 두 부분이 만나 접히는 곳일 뿐이라는 점을 떠올리면 도움이 될 겁니다. 마찬가지로 3차원에서는 면이 도형 전체의 경계였지만, 4차원에서 면은 도형의 두 부분이 만나는 곳이고, 접힐 때의 중심이 됩니다.

여기 x축 방향으로 나란히 놓인 정육면체 두 개가 있습니다. 어떻게 접힐까요? 서로 닿아 있는 면을 중심으로 접혀야 합니다. 그 면의 모서리는 y와 z 방향입니다. 이 면이 바뀌지 않도록, 이 두 축은 그대로 있어야 합니다. 이번 회전에서 움직이는 축은 x축과 w축입니다. 그래서 두 번째 정육면체에서 x축을 따라 있던 모서리는 이제 w축을 따라 놓입니다. 이 정육면체에는 이제 x 방향을 향하는 것이 없으므로, x축에 수직입니다. 두 정육면체가 서로 다른 축에 수직이므로, 서로 직각을 이룬다는 걸 알 수 있습니다.

더 나아가 세 번째 정육면체를, 이번엔 첫 번째 옆에 y축 방향으로 붙여 봅시다. 역시 닿아 있는 면을 중심으로 접히지만, 이번엔 그 면의 모서리가 x와 z 방향입니다. 그래서 그 축들은 바뀌지 않고, 회전하는 건 y축과 w축입니다. 이 정육면체의 y 방향 모서리가 회전해 w 방향 모서리가 되면, 정사각형 세 개를 이었을 때처럼, 몇몇 모서리가 같은 자리로 회전해서 접히면서 도형이 이어지는 것을 볼 수 있습니다. 다만 이번에는 모서리 네 개가 통째로 만납니다. 사실 면 전체가 만나서 다른 정육면체의 면과 붙는 것이죠.

이제 이 모서리 하나를 둘러싸고 정육면체 세 개가 면끼리 이어졌습니다. 2차원에서는 한 꼭짓점에 정사각형 세 개를 이을 수 없지만 3차원에서는 되듯이, 3차원에서는 한 모서리에 정육면체 세 개를 이을 수 없습니다. 하지만 4차원에서는 그게 가능했습니다.

하지만 이 꼭짓점은 아직 끝이 아닙니다. 네 번째 정육면체를 더할 수 있는데, 이번엔 첫 번째에 z축 방향으로 붙입니다. 이것도 붙어 있는 면을 중심으로 접힙니다. 그 면의 모서리는 x와 y 방향이라 그대로 있고, z축과 w축이 회전합니다. 정육면체의 z 방향 모서리가 w 방향 모서리가 되면서, xz 평면에 있던 면이 xw 평면으로 접혀 또 다른 정육면체와 만나는 것을 다시 볼 수 있습니다. 사실 이번에는 면 두 개가 이미 접은 정육면체 두 개와 만납니다.

정사각형 하나의 각 축에 정사각형을 하나씩 붙여 접었다면, 정육면체의 한 꼭짓점이 만들어졌을 겁니다. 신기하게도 꼭짓점 하나일 뿐인데 정육면체의 절반이고, 똑같은 꼭짓점과 합치면 정육면체 전체가 됩니다.

마찬가지로 여기서는 정육면체 하나의 각 축에 정육면체를 하나씩 붙여 접었습니다. 그러면 정육면체 네 개가 정팔포체의 한 꼭짓점을 이룹니다. 이것은 정팔포체의 절반으로, 똑같은 꼭짓점과 합치면 정팔포체 전체가 됩니다. (위 그림들에서 "나머지 절반 보기"에 체크하면, 각 도형을 완성하는 똑같은 꼭짓점을 볼 수 있습니다.)

4차원 이야기 더 보기

4차원에서 도형이 접힌다는 게 무슨 뜻인지 이해하는 데 도움이 되었기를 바랍니다. 정팔포체를 가지고 놀고 싶다면, itch.io에서 Tesseract 261을 무료로 플레이할 수 있습니다.

하지만 4차원 도형은 정팔포체만이 아닙니다. 3차원에 정육면체뿐 아니라 다른 정다면체 네 개와 아르키메데스 다면체, 카탈란 다면체 등이 있듯이, 4차원에도 흥미로운 도형이 훨씬 더 많습니다. 4D 뷰어에서 그런 도형들을 살펴보고 펼쳐 볼 수 있고, itch.io의 4D Builder 체험판에서 직접 도형을 만들고 접어 볼 수도 있습니다.

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