Come si piega un tesseratto?

Quando si piegano i cubi di un tesseratto, come fa lo sviluppo in 3D a diventare un tesseratto in 4D? Considerare con più attenzione le rotazioni che conosciamo potrebbe aiutarci a capirlo.

Ecco una rappresentazione di un tesseratto e del suo sviluppo. Ma come fa uno sviluppo a diventare un tesseratto?

Semplificare le rotazioni

Piegare il tesseratto richiede rotazioni in 4D, e lo spazio a quattro dimensioni per noi è piuttosto astratto. Ma ci sono tante cose astratte che prima o poi impariamo a capire. Forse il problema non è che pensare in quattro dimensioni sia troppo difficile, ma che pensare alle rotazioni sia troppo facile.

Da piccoli ci insegnano a sommare e moltiplicare i numeri, ma non ci insegnano a ruotare le cose, perché lo sappiamo già fare tutti. Si vedono i neonati imparare le rotazioni, girando gli oggetti e osservando il risultato, ma dato che abbiamo una comprensione intuitiva delle rotazioni in 3D, potremmo non pensarci mai nei dettagli, ed è del tutto possibile studiare matematica per anni senza capire granché di questo concetto fondamentale.

Il tesseratto fa parte di una famiglia di forme, tra cui il quadrato e il cubo, che hanno tutti gli spigoli della stessa lunghezza e tutti gli angoli retti. Avere tutti gli angoli retti significa che possiamo rappresentarle lungo ciascuno degli assi. E significa che, per ora, possiamo semplificare il nostro studio delle rotazioni alle sole rotazioni di 90° tra gli assi.

Piegare un quadrato

Pensiamo quindi prima a piegare un quadrato, visto che è l’unica cosa che possiamo vedere perfettamente su uno schermo a due dimensioni. Lo sviluppo di un quadrato è fatto solo di quattro segmenti. Per ora stanno tutti sull’asse x. Distingueremo gli assi x e y dai loro colori, cosa che ci tornerà utile più avanti.

Un’altra cosa che ci tornerà utile più avanti è provare a pensare a questi segmenti non tanto come posati sull’asse x, quanto come perpendicolari all’asse y.

Se ruotiamo quello a destra, vediamo che passa dall’asse x all’asse y. Ogni rotazione di 90° scambia le cose tra gli assi x e y, così la forma intera può passare dallo stare tutta sull’asse x ad avere metà dei suoi lati sull’asse x e metà sull’asse y.

Rappresentare un cubo

Passiamo ora al cubo. Dato che adesso ci interessa una forma a tre dimensioni, ma lo schermo ne ha solo due, abbiamo diverse possibilità per rappresentarla.

Possiamo disegnare in vista isometrica, tracciando i tre assi a 120° l’uno dall’altro. Oppure possiamo disegnare una vista prospettica, in cui gli assi x e y restano perpendicolari e le cose rimpiccioliscono man mano che si allontanano lungo l’asse z.

Nota che nella vista isometrica tutti i quadrati appaiono deformati, ma almeno sembrano tutti identici. Nella vista prospettica, il quadrato davanti e quello dietro non sono deformati, ma gli altri quattro sembrano tutti trapezi.

Ma in entrambe le viste dovremmo riuscire a individuare tre coppie di quadrati, perpendicolari ciascuna a un asse. Se un quadrato è perpendicolare all’asse z, i suoi spigoli dovrebbero stare lungo gli assi x e y. Dovremmo vedere una coppia di quadrati così in entrambe le viste. Allo stesso modo, dovremmo vedere una coppia di quadrati perpendicolari all’asse y e una coppia di quadrati perpendicolari all’asse x.

Piegare un cubo

Vediamo ora cosa succede se questi quadrati partono tutti nel piano xy, cioè perpendicolari all’asse z. Qui ci concentreremo solo su tre quadrati, che formano un angolo del cubo.

Pieghiamo il quadrato a destra. Lo spigolo che unisce questo quadrato al suo vicino sta lungo l’asse y, quindi è attorno a quest’asse che piegheremo. Perciò l’asse y non cambierà in questa rotazione. Gli assi x e z, invece, si scambieranno di posto, come nel caso a due dimensioni. Gli spigoli del quadrato che erano rivolti nella direzione y restano rivolti allo stesso modo, ma quelli lungo l’asse x ora puntano lungo l’asse z.

Quando invece lo spigolo attorno a cui si ruota sta lungo l’asse x, come per il quadrato in alto, vediamo che gli spigoli paralleli all’asse x restano tali, mentre quelli che erano paralleli all’asse y ruoteranno fino a diventare paralleli all’asse z. In questo caso uno spigolo ruoterà verso la stessa posizione già raggiunta da uno spigolo precedente, e gli spigoli si uniranno man mano che il cubo si piega.

Prima di passare a un caso a quattro dimensioni, vale la pena di soffermarsi un attimo su ciò che vediamo sullo schermo, perché siamo così abituati al mondo a tre dimensioni che il nostro cervello quasi lo interpreta al posto nostro.

Immagina di essere abituato a vedere solo immagini a due dimensioni e di cercare di capire cosa sta succedendo qui. Essendo abituato solo a immagini a due dimensioni, avresti già visto quattro quadrati incontrarsi in un angolo, ma tre quadrati che si incontrano in un angolo, come succede in un cubo, potrebbero sembrarti assurdi. Nell’immagine isometrica, la rotazione sembra un rombo che si deforma un po’ fino a diventare un rombo orientato diversamente. E nella vista prospettica sembrerebbero due quadrati che si trasformano in trapezi. Ma questa sarebbe solo la tua visione in 2D di ciò che succede in 3D.

Rappresentare un tesseratto

Passiamo quindi al 4D. E di nuovo avremo diverse possibilità per rappresentare il nostro asse in più.

Di nuovo, possiamo usare la prospettiva. Questa prospettiva faceva sembrare il nostro cubo un quadrato più piccolo dentro un quadrato più grande. Farà sembrare il nostro tesseratto un cubo più piccolo dentro un cubo più grande.

Oppure, di nuovo, potremmo provare a usare una vista isometrica. Abbiamo mostrato i tre assi in 2D mettendoli a 120° l’uno dall’altro o, se si contano gli assi positivi e negativi, a 60°. Ora possiamo mostrare quattro assi in 2D, con gli assi positivi e negativi distanziati di 45°, e così il tesseratto appare come quello piatto qui sotto. Ma questo significa che alcune coppie di assi saranno a 90° l’una dall’altra, e non tutti i quadrati sembreranno uguali.

Un’altra possibilità è mostrare i quattro assi in 3D, dove possiamo avere una vera vista isometrica, con tutti gli assi a circa 109° l’uno dall’altro, così che tutti i cubi appaiono deformati ma identici, proprio come i quadrati nella vista isometrica del cubo. Anzi, proprio come un cubo nella solita vista isometrica sembra un esagono, un tesseratto in questa vista sembra un dodecaedro rombico.

Piegare un tesseratto

Cominciamo quindi a guardare i cubi del nostro tesseratto che si piegano. Qui i nostri cubi partono con gli spigoli nelle direzioni x, y e z, quindi il cubo intero è perpendicolare all’asse w.

Non siamo abituati a un cubo perpendicolare a qualcosa, ma è quello che succede quando si ha una dimensione in più. Nel piano, un quadrato non poteva davvero essere perpendicolare a nulla. Ci è voluta una terza dimensione perché il quadrato fosse perpendicolare a un asse, e ora che abbiamo una quarta dimensione, un cubo può essere perpendicolare a un asse.

In particolare, ora che siamo in quattro dimensioni, anche un piano può essere perpendicolare a un piano, ed è per questo che, invece di ruotare attorno a uno spigolo, ruoteremo attorno a un’intera faccia.

Può anche aiutare notare che in un poligono 2D uno spigolo era il bordo di un’intera forma, mentre in 3D uno spigolo diventa semplicemente il punto in cui due parti di una forma si incontrano e si piegano. Allo stesso modo, in 3D una faccia era il bordo della forma intera, ma in 4D una faccia sarà semplicemente il punto in cui due parti della forma si incontrano, e sarà ciò attorno a cui si piegano.

Ecco quindi due cubi uno accanto all’altro lungo l’asse x. Come si piegheranno? Devono piegarsi attorno alla faccia in cui si toccano, e quella faccia ha spigoli y e z. Devono essere questi gli assi che restano dove sono, così che la faccia non cambi. Gli assi x e w saranno gli assi di questa rotazione. E così tutti gli spigoli di questo secondo cubo che puntavano lungo l’asse x ora punteranno lungo l’asse w. Dato che questo cubo non ha più nulla che punti nella direzione x, ora è perpendicolare all’asse x. E dato che i due cubi sono perpendicolari a due assi diversi, sappiamo che formano un angolo retto tra loro.

Andiamo avanti e aggiungiamo un terzo cubo, questa volta accanto al primo lungo l’asse y. Deve sempre piegarsi attorno alla faccia con cui tocca il primo, ma ora quella faccia ha spigoli x e z, quindi questi assi devono restare invariati, e sono gli assi y e w a ruotare. Mentre gli spigoli y di questo cubo ruotano per diventare spigoli w, notiamo che, proprio come quando abbiamo unito tre quadrati, inizieremo a ruotare alcuni spigoli verso lo stesso punto, così che la forma possa chiudersi mentre si piega. Questa volta però sono quattro spigoli interi a incontrarsi: anzi, un’intera faccia che va a unirsi alla faccia di un altro cubo.

Ora abbiamo tre cubi uniti faccia a faccia attorno a questo unico spigolo. Così come in 2D non sarebbe possibile unire tre quadrati attorno a un vertice, mentre in 3D funziona, in 3D non sarebbe possibile unire tre cubi attorno a uno spigolo. Ma in 4D ci siamo riusciti.

Ma con questo angolo non abbiamo ancora finito. Possiamo aggiungere ancora un quarto cubo, questa volta unito al primo lungo l’asse z. Di nuovo, si piegherà attorno alla faccia con cui è unito, e dato che quella faccia ha spigoli x e y, che resteranno fermi, a ruotare saranno gli assi z e w. Mentre gli spigoli z del cubo diventano spigoli w, vedremo di nuovo che una faccia che stava nel piano xz si piega nel piano xw, e finisce così per incontrare un altro cubo. Anzi, questa volta due delle facce si piegano fino a incontrare i due cubi che abbiamo già piegato.

Ora, se avessimo preso un quadrato, messo un quadrato su ogni asse e piegato il tutto, avremmo formato un angolo di un cubo. Ma stranamente, anche se è solo un angolo, è metà del cubo, e si può unire a un angolo identico per formare un cubo intero.

Allo stesso modo, qui abbiamo preso un cubo, messo un cubo su ogni asse e piegato il tutto. E ora abbiamo quattro cubi che formano un angolo del tesseratto. Ed è una metà del tesseratto, che potrebbe unirsi a un angolo identico per costruire un tesseratto completo. (Spunta «Mostra l’altra metà» nelle figure qui sopra per vedere l’angolo identico che completa ciascuna forma.)

Altro dalla quarta dimensione

Spero che questo ti abbia aiutato a capire cosa intendiamo quando parliamo di forme che si piegano in quattro dimensioni. Se vuoi giocare con i tesseratti, puoi giocare gratis a Tesseract 261 su itch.io.

Ma nelle forme a quattro dimensioni c’è molto di più del tesseratto. Così come in tre dimensioni non c’è solo il cubo, ma anche altri quattro solidi platonici, oltre ai solidi archimedei, ai solidi di Catalan e altro ancora, anche in quattro dimensioni ci sono molte altre forme interessanti. Puoi esaminarle e aprirle nel visualizzatore 4D, e puoi provare a costruire e piegare tu stesso alcune forme nella demo di 4D Builder su itch.io.

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