Comment se plie un tesseract ?

Quand on plie les cubes d’un tesseract, comment le patron en 3D finit-il par devenir un tesseract en 4D ? Examiner de plus près les rotations que nous connaissons pourrait nous aider à le comprendre.

Voici une représentation d’un tesseract et de son patron. Mais comment un patron devient-il un tesseract ?

Simplifier les rotations

Plier le tesseract fait intervenir des rotations en 4D, et l’espace à quatre dimensions est assez abstrait pour nous. Mais il y a beaucoup de choses abstraites que nous finissons par apprendre à comprendre. Peut-être que le problème n’est pas que penser en quatre dimensions soit trop difficile, mais que penser aux rotations soit trop facile.

Quand on est jeune, on nous apprend à additionner et à multiplier des nombres, mais on ne nous apprend pas à faire tourner des choses, parce que nous savons tous déjà le faire. On voit les bébés découvrir les rotations, en tournant des objets dans tous les sens et en observant le résultat, mais comme nous avons une compréhension intuitive des rotations en 3D, nous n’y réfléchissons peut-être jamais en détail, et il est tout à fait possible d’étudier les mathématiques pendant des années sans vraiment comprendre cette notion fondamentale.

Le tesseract fait partie d’une famille de formes, dont le carré et le cube, qui ont toutes des arêtes de même longueur, et dont tous les angles sont droits. Comme tous leurs angles sont droits, on peut les représenter le long de chacun des axes. Et cela veut dire que, pour l’instant, nous pouvons simplifier notre étude des rotations aux seules rotations de 90° entre les axes.

Plier un carré

Commençons donc par plier un carré, puisque c’est la seule chose que l’on puisse voir parfaitement sur un écran à deux dimensions. Le patron d’un carré n’est fait que de quatre segments. Pour l’instant, ils sont tous sur l’axe x. Nous distinguerons les axes x et y par leurs couleurs, ce qui sera utile plus tard.

Autre chose qui sera utile plus tard : essayer de voir ces segments moins comme étant sur l’axe x que comme étant perpendiculaires à l’axe y.

Si l’on fait tourner celui de droite, on voit qu’il passe de l’axe x à l’axe y. Chaque rotation de 90° fait passer les choses de l’axe x à l’axe y et inversement, si bien que la forme entière peut passer d’une position entièrement sur l’axe x à une position où la moitié de ses côtés sont sur l’axe x et l’autre moitié sur l’axe y.

Représenter un cube

Passons maintenant au cube. Comme nous nous intéressons désormais à une forme en trois dimensions, alors que l’écran n’en a que deux, nous avons plusieurs façons de la représenter.

On peut dessiner en vue isométrique, en traçant les trois axes à 120° les uns des autres. Ou bien on peut dessiner en perspective, où les axes x et y restent perpendiculaires, et où les objets rapetissent à mesure qu’ils s’éloignent le long de l’axe z.

Remarquez que dans la vue isométrique, tous les carrés paraissent déformés, mais au moins ils paraissent tous identiques. Dans la vue en perspective, les carrés de devant et de derrière ne sont pas déformés, mais les quatre autres ressemblent tous à des trapèzes.

Mais dans les deux vues, on devrait pouvoir repérer trois paires de carrés, perpendiculaires chacune à un axe. Si un carré est perpendiculaire à l’axe z, ses arêtes doivent suivre les axes x et y. On devrait voir une paire de carrés de ce type dans les deux vues. De même, on devrait voir une paire de carrés perpendiculaires à l’axe y, et une paire de carrés perpendiculaires à l’axe x.

Plier un cube

Voyons maintenant ce qui se passe si ces carrés partent tous du plan xy, c’est-à-dire perpendiculaires à l’axe z. Nous nous concentrerons ici sur trois carrés seulement, qui forment un coin du cube.

Plions le carré de droite. L’arête qui relie ce carré à son voisin suit l’axe y, c’est donc autour de cet axe que nous allons plier. L’axe y ne changera donc pas pendant cette rotation. Les axes x et z, en revanche, vont échanger leurs places, comme dans le cas à deux dimensions. Les arêtes du carré qui étaient orientées dans la direction y gardent la même orientation, mais celles qui suivaient l’axe x suivent maintenant l’axe z.

Quand l’arête autour de laquelle on tourne suit l’axe x, comme pour le carré du haut, on voit au contraire que les arêtes parallèles à l’axe x le restent, tandis que celles qui étaient parallèles à l’axe y vont tourner pour devenir parallèles à l’axe z. Dans ce cas, une arête va tourner vers la position qu’une arête précédente a déjà atteinte, et les arêtes vont se rejoindre au fil du pliage.

Avant de passer à un cas à quatre dimensions, il vaut la peine de s’arrêter un instant sur ce que l’on voit à l’écran, car nous sommes tellement habitués au monde en trois dimensions que notre cerveau lui donne presque un sens à notre place.

Imaginez que vous n’ayez l’habitude de voir que des images en deux dimensions, et que vous essayiez de comprendre ce qui se passe ici. Habitué uniquement aux images en deux dimensions, vous auriez déjà vu quatre carrés se rejoindre en un coin, mais trois carrés qui se rejoignent en un coin, comme dans un cube, pourraient vous sembler absurdes. Dans l’image isométrique, la rotation ressemble à un losange qui se déforme un peu jusqu’à devenir un losange orienté autrement. Et dans la vue en perspective, on dirait deux carrés qui se transforment en trapèzes. Mais ce ne serait que votre vue en 2D de ce qui se passe en 3D.

Représenter un tesseract

Passons donc à la 4D. Et là encore, nous aurons plusieurs façons de représenter notre axe supplémentaire.

Là encore, on peut utiliser la perspective. Cette perspective faisait ressembler notre cube à un petit carré à l’intérieur d’un grand carré. Elle fera ressembler notre tesseract à un petit cube à l’intérieur d’un grand cube.

Ou bien, là encore, on pourrait essayer une vue isométrique. Nous avons montré les trois axes en 2D en les plaçant à 120° les uns des autres, ou, si l’on compte les axes positifs et négatifs, à 60°. On peut maintenant montrer quatre axes en 2D, avec les axes positifs et négatifs espacés de 45°, ce qui donne un tesseract comme la version à plat ci-dessous. Mais certaines paires d’axes seront alors à 90° l’une de l’autre, et tous les carrés ne paraîtront pas identiques.

Une autre possibilité est de montrer les quatre axes en 3D, ce qui permet une véritable vue isométrique, avec tous les axes à environ 109° les uns des autres : tous les cubes paraissent alors déformés mais identiques, exactement comme les carrés dans la vue isométrique du cube. En fait, de même qu’un cube en vue isométrique habituelle ressemble à un hexagone, un tesseract vu ainsi ressemble à un dodécaèdre rhombique.

Plier un tesseract

Commençons donc à regarder les cubes de notre tesseract se plier. Nos cubes partent ici avec leurs arêtes dans les directions x, y et z, si bien que le cube entier est perpendiculaire à l’axe w.

Nous n’avons pas l’habitude qu’un cube soit perpendiculaire à quoi que ce soit, mais c’est ce qui se passe quand on dispose d’une dimension supplémentaire. Dans le plan, un carré ne pouvait pas vraiment être perpendiculaire à quoi que ce soit. Il a fallu une troisième dimension pour qu’un carré puisse être perpendiculaire à un axe, et maintenant que nous avons une quatrième dimension, un cube peut être perpendiculaire à un axe.

Fait remarquable, maintenant que nous sommes en quatre dimensions, un plan peut aussi être perpendiculaire à un plan, et c’est pourquoi, au lieu de tourner autour d’une arête, nous allons tourner autour de toute une face.

Il peut aussi être utile de remarquer que dans un polygone en 2D, une arête était la frontière de toute une forme, alors qu’en 3D, une arête devient simplement l’endroit où deux parties d’une forme se rejoignent et se plient. De même, en 3D, une face était la frontière de la forme entière, mais en 4D, une face sera simplement l’endroit où deux parties de la forme se rejoignent, et ce sera autour d’elle qu’elles se plieront.

Voici donc simplement deux cubes posés côte à côte le long de l’axe x. Comment vont-ils se plier ? Ils doivent se plier autour de la face par laquelle ils se touchent, et cette face a des arêtes y et z. Ce sont forcément les axes qui vont rester en place, pour que cette face ne change pas. Les axes x et w seront les axes de cette rotation. Ainsi, toutes les arêtes de ce second cube qui suivaient l’axe x vont maintenant suivre l’axe w. Comme ce cube n’a plus rien d’orienté dans la direction x, il est désormais perpendiculaire à l’axe x. Et comme les deux cubes sont perpendiculaires à deux axes différents, nous savons qu’ils forment un angle droit l’un avec l’autre.

Allons plus loin et ajoutons un troisième cube, posé cette fois à côté du premier le long de l’axe y. Il doit toujours se plier autour de la face par laquelle il touche le premier, mais cette face a maintenant des arêtes x et z : ces axes doivent donc rester inchangés, et ce sont les axes y et w qui vont tourner. Pendant que les arêtes y de ce cube tournent pour devenir des arêtes w, on remarque que, comme quand nous avons joint trois carrés, nous allons commencer à faire tourner certaines arêtes vers le même endroit, pour que la forme puisse se refermer au fil du pliage. Cette fois, pourtant, ce sont quatre arêtes entières qui vont se rejoindre – en fait, toute une face qui va venir rejoindre la face d’un autre cube.

Nous avons maintenant trois cubes tous reliés face contre face autour de cette seule arête. De même qu’il serait impossible en 2D de joindre trois carrés autour d’un sommet, alors qu’en 3D cela fonctionne, il serait impossible en 3D de joindre trois cubes autour d’une arête. Mais en 4D, nous y sommes parvenus.

Mais nous n’en avons pas fini avec ce coin. Nous pouvons encore ajouter un quatrième cube, relié cette fois au premier le long de l’axe z. Là encore, il va se plier autour de la face par laquelle il est relié, et comme cette face a des arêtes x et y, qui resteront immobiles, ce sont les axes z et w qui vont tourner. Pendant que les arêtes z du cube deviennent des arêtes w, nous verrons de nouveau qu’une face qui était dans le plan xz se plie dans le plan xw, et finit donc par rejoindre un autre cube. En fait, cette fois, deux des faces se plient pour rejoindre les deux cubes que nous avons déjà pliés.

Si nous avions pris un carré, placé un carré sur chaque axe, puis plié le tout, nous aurions formé un coin d’un cube. Mais curieusement, même si ce n’est qu’un coin, c’est la moitié du cube, et on peut l’assembler avec un coin identique pour former un cube entier.

De même, ici, nous avons pris un cube, placé un cube sur chaque axe, puis plié le tout. Et nous avons maintenant quatre cubes qui forment un coin du tesseract. Et c’est une moitié du tesseract, qui pourrait s’assembler avec un coin identique pour construire un tesseract complet. (Cochez « Afficher l’autre moitié » dans les figures ci-dessus pour voir le coin identique qui complète chaque forme.)

Plus loin dans la quatrième dimension

J’espère que cela vous a aidé à comprendre ce que l’on veut dire quand on parle de formes qui se plient en quatre dimensions. Si vous voulez jouer avec des tesseracts, vous pouvez jouer gratuitement à Tesseract 261 sur itch.io.

Mais les formes à quatre dimensions ne se limitent pas au tesseract. De même qu’en trois dimensions il n’y a pas que le cube, mais aussi quatre autres solides de Platon, ainsi que les solides d’Archimède, les solides de Catalan et bien d’autres, il existe aussi beaucoup d’autres formes intéressantes en quatre dimensions. Vous pouvez les examiner et les déplier dans la visionneuse 4D, et vous pouvez essayer de construire et de plier vous-même quelques formes dans la démo de 4D Builder sur itch.io.

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