Hoe vouwt een tesseract op?

Als je de kubussen van een tesseract opvouwt, hoe wordt de 3D-uitslag dan een 4D-tesseract? Als we de rotaties die we kennen wat nauwkeuriger bekijken, kunnen we het misschien beter begrijpen.

Hier zie je een tesseract en zijn uitslag. Maar hoe wordt een uitslag een tesseract?

Rotaties vereenvoudigen

Bij het opvouwen van de tesseract komen 4D-rotaties kijken, en de vierdimensionale ruimte is voor ons nogal abstract. Maar er zijn veel abstracte dingen die we uiteindelijk leren begrijpen. Misschien is het probleem niet dat vierdimensionaal denken te moeilijk is, maar dat nadenken over rotaties te makkelijk is.

Als kind leren we getallen optellen en vermenigvuldigen, maar niemand leert ons hoe je dingen draait, want dat weten we allemaal al. Je ziet baby's leren over rotaties: ze draaien voorwerpen rond en bekijken het resultaat. Maar omdat we 3D-rotaties intuïtief begrijpen, denken we er misschien nooit in detail over na, en je kunt gerust jarenlang wiskunde studeren zonder veel inzicht te krijgen in dit fundamentele begrip.

De tesseract hoort bij een familie van vormen, waartoe ook het vierkant en de kubus behoren, waarvan alle ribben even lang zijn en alle hoeken rechte hoeken. Omdat alle hoeken recht zijn, kunnen we ze langs elk van de assen weergeven. En het betekent dat we ons onderzoek naar rotaties voorlopig kunnen beperken tot rotaties van 90° tussen de assen.

Een vierkant opvouwen

Laten we dus eerst nadenken over het opvouwen van een vierkant, want dat is het enige wat we perfect kunnen bekijken op een tweedimensionaal scherm. De uitslag van een vierkant bestaat gewoon uit vier lijnstukken. Die liggen voorlopig allemaal op de x-as. We onderscheiden de x- en de y-as aan hun kleuren, wat later van pas zal komen.

Wat later ook van pas komt, is als we deze lijnstukken niet zozeer zien als liggend op de x-as, maar eerder als loodrecht op de y-as.

Als we het rechter lijnstuk draaien, zie je dat het van de x-as naar de y-as overgaat. Elke rotatie van 90° laat dingen wisselen tussen de x- en de y-as, zodat de hele vorm kan overgaan van helemaal op de x-as naar de helft van zijn zijden op de x-as en de andere helft op de y-as.

Een kubus weergeven

Laten we nu een stap hoger gaan, naar een kubus. Omdat we nu in een driedimensionale vorm geïnteresseerd zijn, maar het scherm maar tweedimensionaal is, hebben we een paar keuzes voor hoe we die weergeven.

We kunnen dingen isometrisch tekenen, met de drie assen elk 120° uit elkaar. Of we tekenen een perspectivisch aanzicht, waarin de x- en de y-as loodrecht op elkaar blijven en dingen kleiner worden naarmate ze verder naar achteren gaan langs de z-as.

Merk op dat in het isometrische aanzicht alle vierkanten vervormd lijken, maar ze zien er tenminste allemaal hetzelfde uit. In het perspectivische aanzicht zijn het voorste en het achterste vierkant helemaal niet vervormd, maar de andere vier vierkanten zien er allemaal uit als trapezia.

Maar in beide aanzichten kunnen we hopelijk drie paren vierkanten onderscheiden, elk loodrecht op een as. Als een vierkant loodrecht op de z-as staat, moeten zijn ribben langs de x- en de y-as liggen. Zo'n paar vierkanten zouden we in beide aanzichten moeten zien. Zo zouden we ook een paar vierkanten loodrecht op de y-as moeten zien, en een paar vierkanten loodrecht op de x-as.

Een kubus opvouwen

Laten we nu bekijken wat er gebeurt als al deze vierkanten beginnen in het xy-vlak, dus loodrecht op de z-as. We richten ons hier op maar drie vierkanten, die samen één hoek van de kubus vormen.

Laten we het rechter vierkant vouwen. De ribbe die dit vierkant met zijn buurman verbindt, ligt langs de y-as, dus dat is de as waaromheen we vouwen. De y-as verandert bij deze rotatie dus niet. De x- en de z-as wisselen echter van plaats, zoals in het tweedimensionale geval. De ribben van het vierkant die in de y-richting wezen, blijven dezelfde kant op wijzen, maar de ribben langs de x-as wijzen nu langs de z-as.

Als de ribbe waaromheen gedraaid wordt langs de x-as ligt, zoals bij het bovenste vierkant, zien we juist dat alle ribben evenwijdig aan de x-as zo blijven, terwijl alle ribben die evenwijdig aan de y-as waren, nu zo draaien dat ze evenwijdig aan de z-as komen te liggen. In dit geval draait één ribbe naar dezelfde positie als waar een eerdere ribbe al naartoe gedraaid is, en tijdens het vouwen sluiten de ribben op elkaar aan.

Voordat we naar een vierdimensionaal geval gaan, is het de moeite waard om even stil te staan bij wat we op het scherm zien, want we zijn zo gewend aan de driedimensionale wereld dat onze hersenen er bijna vanzelf iets van maken.

Stel je voor dat je alleen tweedimensionale beelden gewend bent, en dat je probeert te herkennen wat hier gebeurt. Omdat je alleen tweedimensionale beelden gewend bent, heb je wel eens vier vierkanten in een hoekpunt zien samenkomen, maar drie vierkanten die in een hoekpunt samenkomen, zoals bij een kubus, lijken je misschien onmogelijk. In het isometrische beeld lijkt de rotatie op een ruit die een beetje vervormt tot hij een anders gedraaide ruit is. En in het perspectivische aanzicht zou het lijken alsof twee vierkanten in trapezia veranderen. Maar dat zou alleen jouw 2D-beeld zijn van wat er in 3D gebeurde.

Een tesseract weergeven

Laten we dus naar 4D gaan. En ook nu hebben we een paar keuzes voor hoe we onze extra as weergeven.

Ook nu kunnen we perspectief gebruiken. Door dit perspectief leek onze kubus op een kleiner vierkant in een groter vierkant. Onze tesseract gaat er daardoor uitzien als een kleinere kubus in een grotere kubus.

Of we kunnen opnieuw een isometrisch aanzicht proberen. We hebben de drie assen in 2D weergegeven door ze elk 120° uit elkaar te zetten, of, als je de positieve en negatieve assen meetelt, 60° uit elkaar. Nu kunnen we vier assen in 2D weergeven, met de positieve en negatieve assen 45° uit elkaar, waardoor een tesseract eruitziet als de platte hieronder. Maar dat betekent dat sommige paren assen 90° uit elkaar staan, en dat niet alle vierkanten er hetzelfde uitzien.

Een andere mogelijkheid is om de vier assen in 3D weer te geven. Daar kunnen we een echt isometrisch aanzicht maken, met alle assen ongeveer 109° uit elkaar, zodat alle kubussen vervormd maar identiek lijken, net zoals de vierkanten in het isometrische aanzicht van de kubus. Sterker nog: net zoals een kubus in het gewone isometrische aanzicht op een zeshoek lijkt, lijkt een tesseract in dit aanzicht op een ruitendodecaëder.

Een tesseract opvouwen

Laten we nu eens kijken hoe de kubussen van onze tesseract opvouwen. Onze kubussen beginnen hier met hun ribben in de x-, y- en z-richting, dus de hele kubus staat loodrecht op de w-as.

We zijn niet gewend dat een kubus ergens loodrecht op staat, maar dat gebeurt er als je een extra dimensie hebt. In het vlak kon een vierkant eigenlijk nergens loodrecht op staan. Er was een derde dimensie nodig om het vierkant loodrecht op een as te laten staan, en nu we een vierde dimensie hebben, kan een kubus loodrecht op een as staan.

Opvallend is ook dat nu we in vier dimensies zijn, een vlak ook loodrecht op een vlak kan staan. Daarom draaien we niet om een ribbe, maar om een heel zijvlak.

Het kan ook helpen om op te merken dat bij een 2D-veelhoek een zijde de rand van de hele vorm was, terwijl in 3D een ribbe alleen nog de plek is waar twee delen van een vorm samenkomen en vouwen. Zo was in 3D een zijvlak de rand van de hele vorm, maar in 4D is een zijvlak alleen nog de plek waar twee delen van de vorm samenkomen, en datgene waaromheen ze vouwen.

Hier liggen dus gewoon twee kubussen naast elkaar langs de x-as. Hoe vouwen ze? Ze moeten vouwen om het zijvlak waar ze elkaar raken, en dat zijvlak heeft y- en z-ribben. Dat moeten de assen zijn die blijven waar ze zijn, zodat dit zijvlak niet verandert. De x- en de w-as worden de assen voor deze rotatie. En dus wijzen alle ribben van deze tweede kubus die langs de x-as wezen, nu langs de w-as. Omdat er aan deze kubus niets meer in de x-richting wijst, staat hij nu loodrecht op de x-as. En omdat de twee kubussen loodrecht op twee verschillende assen staan, weten we dat ze haaks op elkaar staan.

Laten we verder gaan en een derde kubus toevoegen, dit keer naast de eerste langs de y-as. Die moet nog steeds vouwen om het zijvlak waarmee hij de eerste raakt, maar nu heeft dat zijvlak x- en z-ribben, dus die assen moeten onveranderd blijven, en het zijn de y- en de w-as die draaien. Terwijl de y-ribben van deze kubus draaien tot w-ribben, merken we dat we, net als toen we drie vierkanten samenvoegden, sommige ribben naar dezelfde plek gaan draaien, zodat de vorm tijdens het vouwen op zichzelf kan aansluiten. Dit keer zijn het wel vier hele ribben die elkaar ontmoeten – eigenlijk een heel zijvlak dat samenkomt met het zijvlak van een andere kubus en zich daarmee verbindt.

We hebben nu drie kubussen die zijvlak aan zijvlak verbonden zijn rond deze ene ribbe. Net zoals het in 2D niet mogelijk zou zijn om drie vierkanten rond een hoekpunt samen te voegen, maar dat in 3D wel lukt, zou het in 3D niet mogelijk zijn om drie kubussen rond een ribbe samen te voegen. Maar in 4D is het ons gelukt.

Maar we zijn nog niet klaar met deze hoek. We kunnen nog een vierde kubus toevoegen, dit keer langs de z-as aan de eerste vast. Ook die vouwt om het zijvlak waarmee hij vastzit, en omdat dat zijvlak x- en y-ribben heeft, die blijven staan, draaien de z- en de w-as. Terwijl de z-ribben van de kubus w-ribben worden, zien we opnieuw dat een zijvlak dat in het xz-vlak lag, naar het xw-vlak vouwt en zo een andere kubus ontmoet. Dit keer vouwen er zelfs twee zijvlakken naar de twee kubussen die we al gevouwen hebben.

Als we een vierkant hadden genomen, op elke as een vierkant hadden gezet en ze hadden opgevouwen, dan hadden we één hoek van een kubus gemaakt. Maar vreemd genoeg is het, ook al is het maar één hoek, de helft van de kubus, en kan het samen met een identieke hoek een hele kubus vormen.

Zo hebben we hier een kubus genomen, op elke as een kubus gezet en ze opgevouwen. En nu vormen vier kubussen samen één hoek van de tesseract. En dat is een helft van de tesseract die samen met een identieke hoek een volledige tesseract zou kunnen vormen. (Vink ‘Andere helft tonen’ aan in de figuren hierboven om de identieke hoek te zien die elke vorm compleet maakt.)

Meer uit de vierde dimensie

Hopelijk heeft dit je geholpen om te begrijpen wat we bedoelen als we het hebben over vormen die in vier dimensies vouwen. Wil je met tesseracts spelen, dan kun je Tesseract 261 gratis spelen op itch.io.

Maar vierdimensionale vormen zijn veel meer dan alleen de tesseract. Net zoals er in drie dimensies niet alleen de kubus is, maar ook vier andere Platonische lichamen, en daarnaast Archimedische lichamen, Catalaanse lichamen en meer, zijn er ook in vier dimensies nog veel meer interessante vormen. Je kunt ze bekijken en uitvouwen in de 4D-viewer, en in de 4D Builder demo op itch.io kun je zelf wat vormen bouwen en vouwen.

4D Builder op de verlanglijst

← Alle artikelen