Wie faltet sich ein Tesserakt?

Wenn man die Würfel eines Tesserakts zusammenfaltet, wie wird aus dem 3D-Netz ein 4D-Tesserakt? Wenn wir uns die Drehungen, die wir kennen, genauer ansehen, verstehen wir es vielleicht besser.

Hier siehst du einen Tesserakt und sein Netz. Aber wie wird aus einem Netz ein Tesserakt?

Drehungen vereinfachen

Beim Falten des Tesserakts geht es um 4D-Drehungen, und der vierdimensionale Raum ist für uns ziemlich abstrakt. Aber es gibt viele abstrakte Dinge, die wir irgendwann verstehen lernen. Vielleicht liegt das Problem gar nicht darin, dass vierdimensionales Denken zu schwer ist, sondern darin, dass uns das Nachdenken über Drehungen zu leicht fällt.

Als Kinder lernen wir, Zahlen zu addieren und zu multiplizieren, aber niemand bringt uns bei, Dinge zu drehen, weil wir das ja alle schon können. Man sieht Babys, die Drehungen kennenlernen, indem sie Gegenstände herumdrehen und das Ergebnis untersuchen. Aber weil wir 3D-Drehungen intuitiv verstehen, denken wir vielleicht nie im Detail darüber nach, und man kann gut jahrelang Mathematik studieren, ohne dieses grundlegende Konzept wirklich zu durchschauen.

Der Tesserakt gehört zu einer Familie von Formen, zu der auch das Quadrat und der Würfel gehören: Alle ihre Kanten sind gleich lang, und alle ihre Winkel sind rechte Winkel. Weil alle Winkel rechte Winkel sind, können wir sie entlang der einzelnen Achsen darstellen. Und es bedeutet, dass wir uns beim Untersuchen von Drehungen vorerst auf 90°-Drehungen zwischen den Achsen beschränken können.

Ein Quadrat falten

Denken wir also zuerst darüber nach, wie man ein Quadrat zusammenfaltet, denn das ist das Einzige, was wir auf einem zweidimensionalen Bildschirm perfekt sehen können. Das Netz eines Quadrats besteht einfach aus vier Strecken. Vorerst liegen sie alle auf der x-Achse. Die x- und die y-Achse unterscheiden wir an ihren Farben, was später noch nützlich wird.

Ebenfalls später nützlich ist es, wenn wir diese Strecken nicht so sehr als auf der x-Achse liegend betrachten, sondern eher als senkrecht zur y-Achse.

Wenn wir die rechte Strecke drehen, siehst du, dass sie von der x-Achse auf die y-Achse wechselt. Jede 90°-Drehung lässt Dinge zwischen der x- und der y-Achse wechseln, sodass die ganze Form von „ganz auf der x-Achse“ dahin kommen kann, dass die Hälfte ihrer Seiten auf der x-Achse und die andere Hälfte auf der y-Achse liegt.

Einen Würfel darstellen

Gehen wir jetzt eine Stufe höher, zum Würfel. Da uns jetzt eine dreidimensionale Form interessiert, der Bildschirm aber nur zweidimensional ist, haben wir ein paar Möglichkeiten, sie darzustellen.

Wir können die Dinge isometrisch zeichnen, mit den drei Achsen jeweils 120° auseinander. Oder wir zeichnen eine perspektivische Ansicht, in der die x- und die y-Achse senkrecht zueinander bleiben und die Dinge kleiner werden, je weiter sie entlang der z-Achse nach hinten rücken.

Beachte, dass in der isometrischen Ansicht alle Quadrate verzerrt aussehen, aber wenigstens sehen sie alle gleich aus. In der perspektivischen Ansicht sind das vordere und das hintere Quadrat gar nicht verzerrt, aber die anderen vier Quadrate sehen alle wie Trapeze aus.

Aber in beiden Ansichten können wir hoffentlich drei Paare von Quadraten erkennen, jedes senkrecht zu einer Achse. Wenn ein Quadrat senkrecht zur z-Achse steht, sollten seine Kanten entlang der x- und der y-Achse verlaufen. Ein solches Paar von Quadraten sollten wir in beiden Ansichten sehen. Genauso sollten wir ein Paar Quadrate senkrecht zur y-Achse sehen und ein Paar Quadrate senkrecht zur x-Achse.

Einen Würfel falten

Sehen wir uns jetzt an, was passiert, wenn alle diese Quadrate zu Beginn in der xy-Ebene liegen, also senkrecht zur z-Achse. Wir konzentrieren uns hier nur auf drei Quadrate, die zusammen eine Ecke des Würfels bilden.

Falten wir das rechte Quadrat. Die Kante, die dieses Quadrat mit seinem Nachbarn verbindet, liegt entlang der y-Achse, also ist das die Achse, um die wir falten. Die y-Achse ändert sich bei dieser Drehung also nicht. Die x- und die z-Achse dagegen tauschen die Plätze, so wie im zweidimensionalen Fall. Die Kanten des Quadrats, die in y-Richtung zeigten, zeigen weiter in dieselbe Richtung, aber die entlang der x-Achse zeigen jetzt entlang der z-Achse.

Wenn die Kante, um die gedreht wird, dagegen entlang der x-Achse liegt, wie beim oberen Quadrat, sehen wir stattdessen, dass alle Kanten parallel zur x-Achse so bleiben, während alle Kanten, die parallel zur y-Achse waren, sich jetzt so drehen, dass sie parallel zur z-Achse werden. In diesem Fall dreht sich eine Kante genau an die Stelle, an die sich vorher schon eine andere Kante gedreht hat, und beim Falten fügen sich die Kanten zusammen.

Bevor wir zum vierdimensionalen Fall übergehen, lohnt es sich, kurz darüber nachzudenken, was wir auf dem Bildschirm sehen, denn wir sind so an die dreidimensionale Welt gewöhnt, dass sich unser Gehirn fast von allein einen Reim darauf macht.

Stell dir vor, du wärst nur zweidimensionale Bilder gewohnt und würdest versuchen zu erkennen, was hier passiert. Weil du nur zweidimensionale Bilder kennst, hättest du schon gesehen, wie vier Quadrate an einer Ecke zusammentreffen, aber drei Quadrate an einer Ecke, wie bei einem Würfel, kämen dir vielleicht unmöglich vor. Im isometrischen Bild sieht die Drehung so aus, als würde sich eine Raute nur ein wenig verzerren, bis sie zu einer anders ausgerichteten Raute geworden ist. Und in der perspektivischen Ansicht sähe es so aus, als würden zwei Quadrate zu Trapezen. Aber das wäre nur deine 2D-Sicht auf das, was in 3D passiert.

Einen Tesserakt darstellen

Gehen wir also in die vierte Dimension. Und wieder haben wir ein paar Möglichkeiten, unsere zusätzliche Achse darzustellen.

Wieder können wir Perspektive verwenden. Durch diese Perspektive sah unser Würfel aus wie ein kleineres Quadrat in einem größeren Quadrat. Unser Tesserakt wird dadurch aussehen wie ein kleinerer Würfel in einem größeren Würfel.

Oder wir könnten wieder eine isometrische Ansicht versuchen. Die drei Achsen haben wir in 2D dargestellt, indem wir sie jeweils 120° auseinandergelegt haben, oder, wenn man die positiven und negativen Achsen mitzählt, 60° auseinander. Jetzt können wir vier Achsen in 2D zeigen, mit positiven und negativen Achsen im Abstand von 45°, wodurch ein Tesserakt so aussieht wie der flache unten. Das bedeutet aber, dass manche Achsenpaare 90° auseinanderliegen und nicht alle Quadrate gleich aussehen.

Eine andere Möglichkeit ist, die vier Achsen in 3D zu zeigen. Dort ist eine echte isometrische Ansicht möglich, mit allen Achsen etwa 109° auseinander, sodass alle Würfel verzerrt, aber gleich aussehen, genau wie die Quadrate in der isometrischen Ansicht des Würfels. Tatsächlich sieht ein Tesserakt in dieser Ansicht wie ein Rhombendodekaeder aus, so wie ein Würfel in der üblichen isometrischen Ansicht wie ein Sechseck aussieht.

Einen Tesserakt falten

Sehen wir uns also jetzt an, wie sich die Würfel unseres Tesserakts zusammenfalten. Unsere Würfel haben hier zu Beginn Kanten in x-, y- und z-Richtung, also steht der ganze Würfel senkrecht zur w-Achse.

Wir sind es nicht gewohnt, dass ein Würfel zu irgendetwas senkrecht steht, aber genau das passiert, wenn man eine zusätzliche Dimension hat. In der Ebene konnte ein Quadrat eigentlich zu nichts senkrecht stehen. Erst mit einer dritten Dimension konnte ein Quadrat senkrecht zu einer Achse stehen, und jetzt, wo wir eine vierte Dimension haben, kann ein Würfel senkrecht zu einer Achse stehen.

Auffällig ist auch, dass jetzt in vier Dimensionen eine Ebene senkrecht zu einer Ebene stehen kann. Deshalb drehen wir nicht um eine Kante, sondern um eine ganze Fläche.

Vielleicht hilft es auch zu bemerken, dass bei einem 2D-Vieleck eine Kante der Rand der ganzen Form war, während in 3D eine Kante nur noch die Stelle ist, an der zwei Teile einer Form aufeinandertreffen und sich falten. Ebenso war in 3D eine Fläche der Rand der ganzen Form, aber in 4D ist eine Fläche nur noch die Stelle, an der zwei Teile der Form zusammentreffen, und das, worum sie sich falten.

Hier liegen also nur zwei Würfel entlang der x-Achse nebeneinander. Wie falten sie sich? Sie müssen sich um die Fläche falten, an der sie sich berühren, und diese Fläche hat y- und z-Kanten. Das müssen die Achsen sein, die bleiben, wo sie sind, damit sich diese Fläche nicht verändert. Die x- und die w-Achse sind die Achsen dieser Drehung. Und so zeigen alle Kanten dieses zweiten Würfels, die entlang der x-Achse zeigten, jetzt entlang der w-Achse. Da an diesem Würfel nichts mehr in x-Richtung zeigt, steht er jetzt senkrecht zur x-Achse. Und weil die beiden Würfel senkrecht zu zwei verschiedenen Achsen stehen, wissen wir, dass sie im rechten Winkel zueinander stehen.

Gehen wir weiter und fügen einen dritten Würfel hinzu, diesmal neben dem ersten entlang der y-Achse. Er muss sich immer noch um die Fläche falten, an der er anliegt, aber jetzt hat diese Fläche x- und z-Kanten, also müssen diese Achsen unverändert bleiben, und es sind die y- und die w-Achse, die sich drehen. Während sich die y-Kanten dieses Würfels zu w-Kanten drehen, bemerken wir, dass sich, genau wie beim Zusammenfügen von drei Quadraten, einige Kanten an dieselbe Stelle drehen werden, sodass sich die Form beim Falten zusammenfügen kann. Diesmal sind es aber vier ganze Kanten, die aufeinandertreffen – genau genommen eine ganze Fläche, die auf die Fläche eines anderen Würfels trifft und sich mit ihr verbindet.

Jetzt haben wir drei Würfel, die Fläche an Fläche um diese eine Kante herum verbunden sind. So wie es in 2D unmöglich wäre, drei Quadrate um eine Ecke herum zusammenzufügen, das in 3D aber klappt, wäre es in 3D unmöglich, drei Würfel um eine Kante herum zusammenzufügen. Aber in 4D haben wir es geschafft.

Aber an dieser Ecke sind wir noch nicht fertig. Wir können noch einen vierten Würfel hinzufügen, diesmal entlang der z-Achse am ersten angesetzt. Wieder faltet er sich um die Fläche, an der er angesetzt ist, und da diese Fläche x- und y-Kanten hat, die stillstehen, drehen sich die z- und die w-Achse. Während die z-Kanten des Würfels zu w-Kanten werden, sehen wir wieder, dass eine Fläche, die in der xz-Ebene lag, in die xw-Ebene klappt und so auf einen anderen Würfel trifft. Diesmal falten sich sogar zwei der Flächen so, dass sie auf die beiden Würfel treffen, die wir schon gefaltet haben.

Hätten wir ein Quadrat genommen, an jede Achse ein Quadrat gesetzt und alle hochgefaltet, hätten wir eine Ecke eines Würfels gebildet. Aber seltsamerweise ist das, obwohl es nur eine Ecke ist, die Hälfte des Würfels, und zusammen mit einer identischen Ecke ergibt es einen ganzen Würfel.

Genauso haben wir hier einen Würfel genommen, an jede Achse einen Würfel gesetzt und alle hochgefaltet. Jetzt bilden vier Würfel eine Ecke des Tesserakts. Und das ist eine Hälfte des Tesserakts, die sich mit einer identischen Ecke zu einem vollständigen Tesserakt zusammensetzen ließe. (Setze in den Abbildungen oben das Häkchen bei „Andere Hälfte zeigen“, um die identische Ecke zu sehen, die die jeweilige Form vervollständigt.)

Mehr aus der vierten Dimension

Hoffentlich hat dir das geholfen zu verstehen, was gemeint ist, wenn wir davon sprechen, dass sich Formen in vier Dimensionen falten. Wenn du mit Tesserakten spielen möchtest, kannst du Tesseract 261 kostenlos auf itch.io spielen.

Aber vierdimensionale Formen sind viel mehr als nur der Tesserakt. So wie es in drei Dimensionen nicht nur den Würfel gibt, sondern vier weitere platonische Körper, dazu archimedische Körper, catalanische Körper und mehr, gibt es auch in vier Dimensionen noch viele weitere interessante Formen. Du kannst sie im 4D-Viewer untersuchen und auffalten, und in der 4D Builder Demo auf itch.io kannst du selbst ein paar Formen bauen und falten.

4D Builder auf die Wunschliste

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