Como um tesserato se dobra?

Ao dobrar os cubos de um tesserato, como a planificação 3D acaba virando um tesserato 4D? Pensar com mais cuidado nas rotações que já conhecemos pode nos ajudar a entender.

Aqui está uma representação de um tesserato e da sua planificação. Mas como uma planificação vira um tesserato?

Simplificando as rotações

Dobrar o tesserato envolve rotações 4D, e o espaço quadridimensional é bastante abstrato para nós. Mas há muitas coisas abstratas que acabamos aprendendo a entender. Talvez o problema não seja que pensar em quatro dimensões é difícil demais, e sim que pensar em rotações é fácil demais.

Quando somos pequenos, aprendemos a somar e multiplicar números, mas ninguém nos ensina a girar coisas, porque isso todo mundo já sabe. Dá para ver os bebês aprendendo sobre rotações, girando objetos e examinando o resultado, mas como temos uma compreensão intuitiva das rotações em 3D, talvez nunca paremos para pensar nelas em detalhe, e é bem possível estudar matemática por anos sem entender muito bem esse conceito fundamental.

O tesserato faz parte de uma família de formas, que inclui o quadrado e o cubo, em que todas as arestas têm o mesmo comprimento e todos os ângulos são retos. Ter todos os ângulos retos significa que podemos representá-las ao longo de cada um dos eixos. E significa que, por enquanto, podemos simplificar nosso estudo das rotações a apenas rotações de 90° entre os eixos.

Dobrando um quadrado

Então, vamos primeiro pensar em dobrar um quadrado, já que é a única coisa que conseguimos ver perfeitamente numa tela bidimensional. A planificação de um quadrado são só quatro segmentos de reta. Por enquanto, todos eles estão no eixo x. Vamos distinguir os eixos x e y pelas cores, o que vai ser útil mais adiante.

Outra coisa que vai ser útil mais adiante é tentar pensar nessas linhas não tanto como estando no eixo x, e mais como sendo perpendiculares ao eixo y.

Se girarmos a da direita, dá para ver que ela passa do eixo x para o eixo y. Cada rotação de 90° troca as coisas entre os eixos x e y, de modo que a forma inteira pode passar de estar toda no eixo x para ter metade dos lados no eixo x e metade dos lados no eixo y.

Representando um cubo

Agora vamos passar para um cubo. Como agora nos interessa uma forma tridimensional, mas a tela só tem duas dimensões, temos algumas opções de como representá-la.

Podemos desenhar as coisas numa vista isométrica, traçando os três eixos a 120° uns dos outros. Ou podemos desenhar uma vista em perspectiva, em que os eixos x e y continuam perpendiculares e as coisas ficam menores à medida que se afastam ao longo do eixo z.

Repare que, na vista isométrica, todos os quadrados parecem distorcidos, mas pelo menos todos parecem idênticos. Na vista em perspectiva, os quadrados da frente e de trás não têm distorção nenhuma, mas os outros quatro parecem trapézios.

Mas, em qualquer uma das vistas, com sorte conseguimos identificar três pares de quadrados, perpendiculares a cada eixo. Se um quadrado é perpendicular ao eixo z, suas arestas devem estar ao longo dos eixos x e y. Devemos ver um par de quadrados assim nas duas vistas. Da mesma forma, devemos ver um par de quadrados perpendiculares ao eixo y e um par de quadrados perpendiculares ao eixo x.

Dobrando um cubo

Agora vamos examinar o que acontece se todos esses quadrados começarem no plano xy, ou seja, perpendiculares ao eixo z. Aqui vamos nos concentrar em só três quadrados, que formam um canto do cubo.

Vamos dobrar o quadrado da direita. A aresta que liga esse quadrado ao vizinho está ao longo do eixo y, então esse é o eixo em torno do qual vamos dobrá-lo. Assim, o eixo y não vai mudar nessa rotação. Já os eixos x e z vão trocar de lugar, como aconteceu no caso bidimensional. As arestas do quadrado que apontavam na direção y continuaram apontando para o mesmo lado, mas as que estavam ao longo do eixo x agora apontam ao longo do eixo z.

Agora, quando a aresta em torno da qual giramos está ao longo do eixo x, como acontece com o quadrado de cima, vemos que, em vez disso, as arestas paralelas ao eixo x continuam assim, enquanto as que eram paralelas ao eixo y agora vão girar até ficar paralelas ao eixo z. Nesse caso, uma aresta vai girar até a mesma posição para onde uma aresta anterior já girou, e as arestas vão se juntar à medida que ele se dobra.

Antes de passarmos para um caso quadridimensional, vale a pena parar um pouco para pensar no que vemos na tela, porque estamos tão acostumados ao mundo tridimensional que o nosso cérebro quase dá sentido a ele por nós.

Imagine que você só está acostumado a ver imagens bidimensionais, e que está tentando reconhecer o que está acontecendo aqui. Acostumado só com imagens bidimensionais, você já teria visto quatro quadrados se encontrarem num canto, mas três quadrados se encontrando num canto, como acontece num cubo, poderia parecer absurdo. Na imagem isométrica, a rotação parece um losango que só se distorce um pouco até virar um losango com outra orientação. E na vista em perspectiva, pareceria que dois quadrados estão virando trapézios. Mas isso seria apenas a sua visão 2D do que estava acontecendo em 3D.

Representando um tesserato

Então, vamos passar para 4D. E, de novo, teremos algumas opções de como representar o nosso eixo extra.

De novo, podemos usar a perspectiva. Essa perspectiva fazia o nosso cubo parecer um quadrado menor dentro de um quadrado maior. Ela vai fazer o nosso tesserato parecer um cubo menor dentro de um cubo maior.

Ou, de novo, podemos tentar usar uma vista isométrica. Mostramos os três eixos em 2D colocando-os a 120° uns dos outros ou, se você incluir os eixos positivos e negativos, a 60°. Agora podemos mostrar quatro eixos em 2D, com os eixos positivos e negativos espaçados a 45°, o que deixa o tesserato com a aparência do desenho plano abaixo. Mas isso significa que alguns pares de eixos vão ficar a 90° um do outro, e nem todos os quadrados vão parecer iguais.

Outra opção é mostrar os quatro eixos em 3D, onde podemos ter uma verdadeira vista isométrica, com todos os eixos a cerca de 109° uns dos outros, de modo que todos os cubos parecem distorcidos, mas idênticos, assim como os quadrados na vista isométrica do cubo. Aliás, assim como um cubo na vista isométrica habitual parece um hexágono, um tesserato nessa vista parece um dodecaedro rômbico.

Dobrando um tesserato

Agora vamos começar a ver os cubos do nosso tesserato se dobrando. Os nossos cubos aqui começam com as arestas nas direções x, y e z, então o cubo inteiro é perpendicular ao eixo w.

Não estamos acostumados a um cubo ser perpendicular a alguma coisa, mas é isso que acontece quando se tem uma dimensão a mais. No plano, um quadrado não podia ser realmente perpendicular a nada. Foi preciso uma terceira dimensão para o quadrado ser perpendicular a um eixo, e agora que temos uma quarta dimensão, um cubo pode ser perpendicular a um eixo.

Vale notar que, agora que estamos em quatro dimensões, um plano também pode ser perpendicular a um plano, e é por isso que, em vez de girar em torno de uma aresta, vamos girar em torno de uma face inteira.

Também pode ajudar perceber que, num polígono 2D, uma aresta era a fronteira da forma inteira, enquanto em 3D uma aresta passa a ser só o lugar onde duas partes de uma forma se encontram e se dobram. Da mesma forma, em 3D uma face era a fronteira da forma inteira, mas em 4D uma face vai ser só o lugar onde duas partes da forma se encontram, e vai ser aquilo em torno do qual elas se dobram.

Então aqui estão só dois cubos, um ao lado do outro ao longo do eixo x. Como eles vão se dobrar? Eles têm que se dobrar em torno da face em que se tocam, e essa face tem arestas y e z. Esses têm que ser os eixos que ficam onde estão, para que essa face não mude. Os eixos x e w vão ser os eixos dessa rotação. E, assim, todas as arestas desse segundo cubo que apontavam ao longo do eixo x agora vão apontar ao longo do eixo w. Como esse cubo não tem mais nada apontando na direção x, agora ele é perpendicular ao eixo x. E como os dois cubos são perpendiculares a dois eixos diferentes, sabemos que eles estão em ângulo reto um com o outro.

Vamos mais longe e acrescentar um terceiro cubo, desta vez ao lado do primeiro ao longo do eixo y. Ele ainda tem que se dobrar em torno da face em que toca o primeiro, mas agora essa face tem arestas x e z, então esses eixos têm que permanecer inalterados, e são os eixos y e w que vão girar. À medida que as arestas y desse cubo giram para virar arestas w, percebemos que, assim como quando juntamos três quadrados, vamos começar a girar algumas arestas para o mesmo lugar que outras, para que a forma possa se juntar enquanto se dobra. Só que, desta vez, são quatro arestas inteiras que vão se encontrar – na verdade, uma face inteira que vai se encontrar e se juntar à face de outro cubo.

Agora temos três cubos, todos unidos face a face em torno dessa única aresta. Assim como em 2D não seria possível juntar três quadrados em torno de um vértice, mas em 3D isso funciona, em 3D não seria possível juntar três cubos em torno de uma aresta. Mas em 4D conseguimos fazer isso acontecer.

Mas ainda não terminamos esse canto. Ainda podemos acrescentar um quarto cubo, desta vez ligado ao primeiro ao longo do eixo z. De novo, ele vai se dobrar em torno da face pela qual está ligado, e como essa face tem arestas x e y, que vão ficar paradas, os eixos z e w vão girar. À medida que as arestas z do cubo viram arestas w, vamos ver de novo que uma face que estava no plano xz se dobra para o plano xw e, assim, acaba encontrando outro cubo. Na verdade, desta vez duas das faces se dobram até encontrar os dois cubos que já dobramos.

Agora, se tivéssemos pegado um quadrado, colocado um quadrado em cada eixo e dobrado tudo, teríamos formado um canto de um cubo. Mas, curiosamente, mesmo sendo só um canto, ele é metade do cubo, e pode ser juntado a um canto idêntico para formar um cubo inteiro.

Da mesma forma, aqui pegamos um cubo, colocamos um cubo em cada eixo e dobramos tudo. E agora temos quatro cubos formando um canto do tesserato. E essa é uma metade do tesserato que poderia se juntar a um canto idêntico para construir um tesserato completo. (Marque “Mostrar a outra metade” nas figuras acima para ver o canto idêntico que completa cada forma.)

Mais sobre a quarta dimensão

Espero que isso tenha ajudado a entender o que queremos dizer quando falamos de formas se dobrando em quatro dimensões. Se você quiser brincar com tesseratos, pode jogar Tesseract 261 de graça no itch.io.

Mas as formas quadridimensionais vão muito além do tesserato. Assim como em três dimensões não existe só o cubo, mas também outros quatro sólidos platônicos, além dos sólidos arquimedianos, dos sólidos de Catalan e muito mais, em quatro dimensões também existem muitas outras formas interessantes. Você pode examiná-las e desdobrá-las no visualizador 4D, e pode experimentar construir e dobrar algumas formas você mesmo na demo do 4D Builder no itch.io.

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